Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?

Problem P. 5349. (October 2021)

P. 5349. A battery of internal resistance \(\displaystyle 1.5~\Omega\) is connected to two resistors connected in parallel, one of them having a resistance of \(\displaystyle R_1=40~\Omega\) and the \(\displaystyle R_2\) resistance of the other resistor is not known. Determine the unknown resistance of the second resistor if it dissipates 60% of the total energy delivered by the battery.

(4 pont)

Deadline expired on November 15, 2021.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Legyen a zsebtelep üresjárati feszültsége \(\displaystyle U\), az ismeretlen ellenállást pedig jelöljük \(\displaystyle x\)-szel, és minden ellenállást számoljunk ohm egységekben.

A kapcsolás eredő ellenállása

\(\displaystyle R_{\bf e}=1{,}5+\frac{40x}{40+x}=\frac{60+41{,}5x}{40+x},\)

a telep által leadott teljesítmény tehát

\(\displaystyle P_0=\frac{U^2}{R_{\bf e}}=\frac{40+x}{60+41{,}5x}\,U^2.\)

A főág áramerőssége

\(\displaystyle I=\frac{U}{R_{\bf e}},\)

a kapocsfeszültség tehát

\(\displaystyle U'=U-IR_\text{belső}=\frac{40x}{60+41{,}5x}\,U,\)

és így az ismeretlen ellenállású fogyasztóra jutó teljesítmény

\(\displaystyle P_x=\frac{U'^2}{x}=\left( \frac{40x}{60+41{,}5x}\,U \right)^2\cdot \frac{1}{x}=\frac{1600x}{(60+41{,}5x)^2}U^2.\)

A \(\displaystyle P_x=0{,}6\,P_0\) feltétel akkor teljesül, ha fennáll, hogy

\(\displaystyle 1600 x=0{,}6\cdot (40+x)(60+41{,}5x).\)

Ennek a másodfokú egyenletnek a gyökei: \(\displaystyle x_1=2{,}9\) és \(\displaystyle x_2=19{,}9.\)

Az ismeretlen fogyasztó ellenállása tehát kb. \(\displaystyle 3~\Omega\) vagy \(\displaystyle 20~\Omega\).


Statistics:

69 students sent a solution.
4 points:Albert Máté, Antalóczy Szabolcs, Boda Benedek János, Brezina Gergely, Bubics Gergely Dániel, Dóra Márton, Fey Dávid, Hauber Henrik, Hegedűs Máté Miklós, Horváth 221 Zsóka, Josepovits Gábor, Juhász-Molnár Erik, Katona Attila Zoltán, Kertész Balázs, Kiss-Beck Regina, Kürti Gergely, Miruna Neacsu, Molnár Kristóf, Mozolai Bende Bruno, Murai Dóra Eszter, Nemeskéri Dániel, Papp Marcell Imre, Pethő Dorottya, Schneider Dávid, Somlán Gellért, Tatár Ágoston, Toronyi András, Vágó Botond, Veszprémi Rebeka Barbara, Vig Zsófia, Yokota Adan.
3 points:Biebel Botond, Kohut Márk Balázs, Marozsi Lenke Sára, Molnár-Szabó Vilmos.
2 points:7 students.
1 point:13 students.
0 point:8 students.
Unfair, not evaluated:2 solutionss.

Problems in Physics of KöMaL, October 2021