Problem P. 5350. (October 2021)

P. 5350. A thin parallel light beam is aimed at the centre of a transparent sphere, and the rays meet exactly at the opposite point of the surface of the sphere. What is the refractive index of the material of the sphere?

(4 pont)

Deadline expired on November 15, 2021.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Tekintsünk egy olyan fénysugarat, amely \(\displaystyle \alpha\) beesési szöggel éri el a gömb felületét. Az optikai tengelyhez közeli fénysugarakra \(\displaystyle \alpha\ll 1\), emiatt \(\displaystyle \sin\alpha\approx \alpha\). A megtört fénysugár akkor metszi az optikai tengelyt a felület átellenes pontjában, ha a törési szög \(\displaystyle \beta=\alpha/2\) (lásd az ábrát). Mivel \(\displaystyle \beta\ll 1\), fennáll, hogy \(\displaystyle \sin\beta\approx \beta.\)

A törési törvény szerint a törésmutató:

\(\displaystyle n=\frac{\sin\alpha}{\sin\beta}\approx \frac{ \alpha}{ \beta}=2.\)

A gömb anyagának törésmutatója tehát 2. Mivel ez a feltétel \(\displaystyle \alpha\)-tól független (ha \(\displaystyle \alpha\) kicsi), ezért a keskeny nyaláb minden fénysugara ugyanott éri el a szemközti felületet, tehát valóban fókuszálódik a nyaláb.

Statistics:

37 students sent a solution.
4 points:	Antalóczy Szabolcs, Bencz Benedek, Biebel Botond, Bogdán Benedek, Brezina Gergely, Csonka Illés, Dóra Márton, Hegedűs Máté Miklós, Katona Attila Zoltán, Kiss-Beck Regina, Miruna Neacsu, Molnár Kristóf, Mucsi Viktor, Murai Dóra Eszter, Nagy 456 Imre, Somlán Gellért, Sulok Yahyaa, Téglás Panna, Toronyi András, Vig Zsófia.
3 points:	Albert Máté, Kovács Kinga, Marozsi Lenke Sára, Mozolai Bende Bruno, Schneider Dávid, Vágó Botond, Waldhauser Miklós.
1 point:	4 students.
0 point:	3 students.
Unfair, not evaluated:	1 solutions.

Problems in Physics of KöMaL, October 2021