Problem P. 5352. (October 2021)

P. 5352. A closed circular loop of wire having a resistance of \(\displaystyle R\) and enclosing a cross section of \(\displaystyle A\) is rotated at a constant angular speed of \(\displaystyle \omega\) in magnetic field of induction \(\displaystyle B\), about that symmetry axis of the loop which lies in the plane of the loop. At what average power can this be done?

(4 pont)

Deadline expired on November 15, 2021.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A körvezetőn áthaladó mágneses fluxus:

\(\displaystyle \Phi(t)=BA\cos(\omega t).\)

Ennek változási sebessége:

\(\displaystyle U(t)=-\frac{\Delta \Phi}{\Delta t}=BA\omega \sin(\omega t),\)

az áramerősség:

\(\displaystyle I(t)=\frac{U(t)}{R}=\frac{BA\omega}{R} \sin(\omega t).\)

A Joule-hő fejlesztésének pillanatnyi teljesítménye:

\(\displaystyle P(t)=I^2 R=\frac{(BA\omega)^2}{R} \sin^2(\omega t).\)

Az átlagos teljesítmény:

\(\displaystyle \overline{P}=\frac{(BA\omega)^2}{2R}.\)

Ugyanezt az eredményt az időegységenként befektetett munka átlagos értékéből is megkaphatjuk. A körvezetőben

\(\displaystyle I(t)=\frac{BA\omega}{R} \sin(\omega t)\)

erősségű áram folyik, ez

\(\displaystyle m(t)=AI(t)=\frac{BA^2\omega}{R} \sin(\omega t)\)

erősségű mágneses dipólt hoz létre. A dipólra ható forgatónyomaték:

\(\displaystyle M(t)=B\cdot m(t)\cdot \sin(\omega t)=\frac{B^2A^2\omega}{R} \sin^2(\omega t).\)

A pillanatnyi teljesítmény a forgatónyomaték és a szögsebesség szorzata:

\(\displaystyle P(t)=\frac{ B^2A^2\omega^2}{R} \sin^2(\omega t),\)

aminek időátlaga:

\(\displaystyle \overline{P}=\frac{ B^2A^2\omega^2}{2R}.\)

Statistics:

11 students sent a solution.
4 points:	Bencz Benedek, Biebel Botond, Budai Csanád, Mozolai Bende Bruno, Somlán Gellért, Téglás Panna, Vágó Botond.
2 points:	2 students.
1 point:	1 student.

Problems in Physics of KöMaL, October 2021