Problem P. 5354. (October 2021)

P. 5354. A toy train, equipped with a motor, travels along a circular track of radius \(\displaystyle R\) at a constant speed of \(\displaystyle v\). At a distance of \(\displaystyle d<R\) there is a point-like sound source, emitting sound of frequency \(\displaystyle f_0\). A microphone is attached to the train. Determine the range of the detected frequency of the sound. (The speed of sound is \(\displaystyle c\).)

(6 pont)

Deadline expired on November 15, 2021.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A hangmagasság változását a Doppler-effektussal magyarázzuk. Eszerint az \(\displaystyle f_0\) frekvenciájú, álló hangforrás frekvenciáját egy, a hangforráshoz \(\displaystyle u\) sebességgel közeledő (vagy távolodó) mikrofon

\(\displaystyle f=f_0\left(1\pm \frac{u}{c}\right)\)

nagyságúnak rögzíti. A feladatunk tehát \(\displaystyle u\) legnagyobb és legkisebb értékének meghatározása.

Két test távolsága nem függ attól, hogy milyen koordináta-rendszerben számítjuk ki azt. (Az ilyen mennyiségeket invariánsnak nevezik.) Válasszuk azt a koordináta-rendszert, amelynek origója a körpálya középpontjában van, és éppen olyan gyorsan forog, hogy a játékvonat – ebben a rendszerben – mindig ugyanazon a helyen legyen. Ebben a rendszerben a vonat áll, a hangforrás pedig egy \(\displaystyle d\) sugarú körpályán \(\displaystyle u=vd/R\) sebességgel egyenletesen mozog.

A vonat és a hangforrás távolsága akkor változik a leggyorsabban, amikor a hangforrás sebessége éppen a vonat felé, vagy az ellenkező irányba mutat. Ilyenkor a közeledés/távolodás sebessége \(\displaystyle \pm u\), a megváltozott frekvencia legnagyobb és legkisebb értéke tehát

\(\displaystyle f_\text{max}=f_0\left(1+ \frac{vd}{Rc}\right),\qquad \text{illetve}\qquad f_\text{min}=f_0\left(1- \frac{vd}{Rc}\right).\)

Statistics:

28 students sent a solution.
6 points:	Bencz Benedek, Hauber Henrik, Kertész Balázs, Kollmann Áron Alfréd, Köpenczei Csanád, Molnár-Szabó Vilmos, Pethő Dorottya, Schmercz Blanka, Somlán Gellért, Szanyi Attila, Téglás Panna, Viczián Máté, Yokota Adan.
5 points:	Fey Dávid, Gábriel Tamás.
4 points:	7 students.
3 points:	1 student.
2 points:	1 student.
1 point:	1 student.
Unfair, not evaluated:	1 solutions.

Problems in Physics of KöMaL, October 2021