Problem P. 5355. (November 2021)

P. 5355. Newspaper news (February 24, 2021): China's Mars probe, Tianwen-1, has been already orbiting Mars and has collected data from the red planet. The furthest point of its parking orbit measured from the surface of Mars is 59 thousand kilometres, while the nearest is 280 kilometres away. The probe makes one revolution around the planet in two Mars days.

By calculation check the accuracy of the value given for the period if the other data are accepted as correct.

(4 pont)

Deadline expired on December 15, 2021.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A szonda – a megadott és táblázatból kikereshető adatok szerint – olyan ellipszispályán kering, amelynek fél nagytengelye:

\(\displaystyle a=\frac{1}{2}\left( 59\,000~{\rm km}+280~{\rm km}+6794~{\rm km}\right)=3{,}304\cdot10^7~{\rm m}.\)

Kepler III. törvénye szerint a szonda keringési ideje megegyezik az \(\displaystyle a\) sugarú körpályához tartozó keringési idővel:

\(\displaystyle T=2\pi \sqrt{\frac{a^3}{\gamma M_\text{Mars}}}=2\pi \sqrt{ \frac{(3{,}304\cdot10^7)^3}{\left(6{,}673\cdot10^{-11}\right)\cdot0{,}107\cdot \left(5{,}974\cdot10^{24}\right)}}~{\rm s}=1{,}83\cdot10^5~\rm s.\)

Mivel a marsi nap hossza:

\(\displaystyle T_\text{Mars}=24^{\rm h}\, 37^{\rm m}\,23^{\rm s}=8{,}864\cdot10^4~\rm s, \)

a szonda keringési ideje

\(\displaystyle T=\frac{1{,}83\cdot10^5~\rm s}{8{,}864\cdot10^4~\rm s}T_\text{Mars}=2{,}06~ T_\text{Mars}.\)

Az állítás, miszerint egy ,,kör'' megtételének ideje két marsi nap, kb. 3% pontossággal igaz.

Megjegyzések. 1. A marsi nap hosszát és a Mars tengely körüli forgásának idejét egyenlőnek tekintettük, vagyis nem vettük figyelembe, hogy a Mars 687 földi nap alatt megkerüli a Napot. Ez 0,15% hibát okoz, ami a kiszámított 3% mellett elhanyagolható.

2. A fenti számolás során fellépő kerekítési hibák önmagukban is kb. 1 százaléknyi relatív hibát okozhatnak. Helyesebb tehát azt mondanunk, hogy az újsághír \(\displaystyle 3\pm1\) százalék, vagyis 2-4% pontossággal tekinthető igaznak.

Statistics:

76 students sent a solution.
4 points:	Bagu Bálint, Albert Máté, Antalóczy Szabolcs, Bacsó Dániel, Bányai Kristóf, Bencz Benedek, Biebel Botond, Brezina Gergely, Fajszi Karsa, Hegedűs Máté Miklós, Jirkovszky-Bari László, Katona Attila Zoltán, Kertész Balázs, Kornya Gergely Csaba, Kovács Kristóf , Köpenczei Csanád, Mészáros Ádám, Molnár Kristóf, Mozolai Bende Bruno, Nagy 456 Imre, Németh Zalán, Papp Marcell Imre, Seprődi Barnabás Bendegúz, Tárnok Ede , Tatár Ágoston, Téglás Panna, Toronyi András, Vágó Botond, Veszprémi Rebeka Barbara, Vig Zsófia, Waldhauser Miklós.
3 points:	Bálint Máté, Bogdán Benedek, Buzási-Temesi Imre, Csonka Illés, Dóra Márton, Gábriel Tamás, Hegymegi Balázs, Horváth 221 Zsóka, Kovács Kinga, Kürti Gergely, Marozsi Lenke Sára, Murai Dóra Eszter, Nemeskéri Dániel, Somlán Gellért, Vadász Roland, Varga Mária Krisztina, Yokota Adan.
2 points:	15 students.
1 point:	8 students.
0 point:	1 student.
Unfair, not evaluated:	1 solutions.

Problems in Physics of KöMaL, November 2021