Problem P. 5358. (November 2021)

P. 5358. There are two beads on an insulated thin vertical thread, one of them is fixed and the other is held at a height of \(\displaystyle h = 0.5\) m above it.

The mass of the upper bead is \(\displaystyle m = 0.5\) grams and the charge of both beads is \(\displaystyle Q = 2.58\cdot 10^{-7}\) C. At a certain moment the upper bead is released without initial speed.

\(\displaystyle a\)) How much distance does the bead cover until it reaches its greatest speed?

\(\displaystyle b)\) What is this speed?

\(\displaystyle c)\) What will the least distance between the beads be?

\(\displaystyle d)\) What is the acceleration of the bead at the bottommost point of its path?

(4 pont)

Deadline expired on December 15, 2021.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. \(\displaystyle a)\) A legnagyobb sebességet akkor éri el a gyöngy, amikor a gyorsulása nulla, vagyis a rá ható eredő erő nulla. Ha ez \(\displaystyle x\) elmozdulás után következik be, akkor fennáll:

\(\displaystyle mg=\frac{kQ^2}{(h-x)^2},\)

vagyis

\(\displaystyle x=h-\sqrt{\frac{kQ^2}{mg}}=0{,}15~\rm m.\)

Érdemes bevezetni a \(\displaystyle d=\sqrt{\frac{kQ^2}{mg}}\) jelölést, aminek nagysága a megadott számadatok mellett

\(\displaystyle d=Q\sqrt{\frac{k }{mg}}=2{,}58\cdot 10^{-7}\sqrt{\frac{9\cdot10^9 }{0{,}0005\cdot 9{,}81}}~{\rm m}=0{,}349~{\rm m}\approx 35~\rm cm.\)

\(\displaystyle b)\) Az energiamegmaradás tétele szerint a legnagyobb sebességnél

\(\displaystyle mgh+\frac{kQ^2}{h}=\frac{1}{2} mv^2+mgd+ \frac{kQ^2}{d},\)

azaz

\(\displaystyle \frac{v^2}{2g}=(h-d)+d^2\left(\frac{1}{h}-\frac{1}{d}\right)=0{,}045~\rm m,\)

és így

\(\displaystyle v=\sqrt{2\cdot 9{,}81\cdot 0{,}045}~\frac{\rm m}{\rm s}=0{,}94~\frac{\rm m}{\rm s}.\)

\(\displaystyle c)\) Ismét az energiatételt használhatjuk. A mozgás kezdetekor és a végén is a sebesség nulla. A gyöngyök közötti legkisebb távolságot \(\displaystyle \ell\)-lel jelölve

\(\displaystyle mgh+\frac{kQ^2}{h}=mg\ell+\frac{kQ^2}{\ell},\)

vagyis

\(\displaystyle h-\ell=d^2\left(\frac{1}{\ell}-\frac{1}{h}\right)=\frac{d^2(h-\ell)}{h\ell}.\)

Innen \(\displaystyle h-\ell\ne 0\)-val egyszerűsítve kapjuk, hogy

\(\displaystyle \ell=\frac{d^2}{h}=\frac{\left(0{,}35~{\rm m}\right)^2}{0{,}5~{\rm m}}=0{,}25~\rm m.\)

(Érdekes, hogy a gyöngyök közötti egyensúlyi távolság a legnagyobb és a legkisebb távolság mértani közepével egyezik meg.)

\(\displaystyle d)\) A pálya legalsó pontjában a gyöngy gyorsulása felfelé \(\displaystyle a\), melyre a Newton-egyenletet írhatjuk fel:

\(\displaystyle \frac{kQ^2}{\ell^2}-mg=ma,\)

azaz

\(\displaystyle a=g\left(\frac{d^2}{\ell^2}-1\right)\approx g \approx 10~\frac{\rm m}{\rm s^2}.\)

Statistics:

60 students sent a solution.
4 points:	Antalóczy Szabolcs, Bacsó Dániel, Bányai Kristóf, Biebel Botond, Czirók Tamás, Hauber Henrik, Kovács Kinga, Kovács Kristóf , Köpenczei Csanád, Mészáros Ádám, Mozolai Bende Bruno, Nemeskéri Dániel, Schmercz Blanka, Somlán Gellért, Vágány Zoltán , Vágó Botond, Varga Mária Krisztina, Veszprémi Rebeka Barbara, Waldhauser Miklós.
3 points:	Beke Bálint, Csapó Tamás, Dóra Márton, Gábriel Tamás, Kürti Gergely, Molnár Kristóf, Papp Marcell Imre, Szabó Márton, Vincze Farkas Csongor, Yokota Adan.
2 points:	9 students.
1 point:	4 students.
0 point:	14 students.
Unfair, not evaluated:	2 solutionss.

Problems in Physics of KöMaL, November 2021