A P. 5365. feladat (2021. december)

P. 5365. Egy \(\displaystyle \ell\) hosszúságú, \(\displaystyle m\) tömegű, homogén, vékony rudat az egyik végpontjánál felfüggesztünk. Egyensúlyi helyzetéből kicsit kitérítve a lengéseinek periódusideje \(\displaystyle T_0=2\) s, vagyis ez a rúd egy ,, másodpercinga''.

Tíz darab ugyanilyen rudat az ábrán látható módon erősítünk össze, majd a merev keretet az egyik csúcsánál fogva felakasztjuk. Az így kialakított ötágú csillag a saját síkjában szabadon elfordulhat az \(\displaystyle O\) pont körül.

\(\displaystyle a)\) Mekkora a rudak hossza?

\(\displaystyle b)\) Mennyi az egyensúlyi helyzetéből kicsit kitérített ötágú csillag lengéseinek \(\displaystyle T\) periódusideje?

(Lásd a sokszög alakú keretek lengéseiről szóló cikket lapunk 556. oldalán!)

Közli: Cserti József, Budapest

(5 pont)

A beküldési határidő 2022. január 17-én LEJÁRT.

I. megoldás. \(\displaystyle a)\) A homogén rúd (mint fizikai inga) lengésideje:

\(\displaystyle T_0=2\pi \sqrt{\frac{\frac13m\ell^2}{\frac12 mg\ell}}=2\pi\sqrt{\frac{2\ell }{3g}},\)

ahonnan a rúd hossza:

\(\displaystyle b)\) Az ötágú csillag tehetetlenségi nyomatékát először az \(\displaystyle S\) súlypontra vonatkozóan számoljuk ki. Az \(\displaystyle S\) pontból az egyes oldalak végpontjaiba mutató vektorok hosszára az 1. ábra alapján az alábbi egyenleteket írhatjuk:

\(\displaystyle R \cos 2 \alpha = r \cos \alpha\qquad \text{és}\qquad r \sin \alpha = \ell\sin \beta,\)

ahol \(\displaystyle \alpha = \frac{360^\circ}{10}=36^\circ\) és \(\displaystyle \beta = 90^\circ -2\alpha = 18 ^\circ\). Innen kapjuk, hogy

\(\displaystyle R = \ell \, \mathrm{ctg}\,\alpha = 1{,}376\, \ell \qquad \text{és}\qquad r = \frac{\cos 2\alpha}{\sin \alpha} \,\ell = 0{,}526\, \ell. \)

1. ábra

A hivatkozott cikk (4) képlete alapján a súlypontra vonatkoztatott tehetetlenségi nyomaték:

\(\displaystyle \Theta_S = \frac{10 m}{6}\, \left(3 R^2 + 3 r^2-\ell^2 \right) = 0{,}919\, {M \ell^2}, \)

ahol \(\displaystyle M= 10 m\) a csillag teljes tömege. A Steiner-tétel szerint a csillag teljes tehetetlenségi nyomatéka az \(\displaystyle O\) pontra vonatkoztatva:

\(\displaystyle \Theta = \Theta _S + M R^2 = 2{,}813 \, M \ell^2. \)

Mivel a súlypont távolsága az \(\displaystyle O\) ponttól \(\displaystyle R\), így az \(\displaystyle M\) tömegű csillag lengésének peridusideje:

\(\displaystyle T = 2 \pi \, \sqrt{\frac{\Theta}{M g R}} = 8{,}98 \, \sqrt{\frac{\ell}{g}}, \)

azaz (1) felhasználásával

\(\displaystyle T \approx 3{,}5~\rm s.\)

II. megoldás. Az ötágú csillag tehetetlenségi nyomatékát más megfontolással is kiszámíthatjuk. Tekintsük a 2. ábrán vastag vonallal jelölt két rudat, és számítsuk ki a tehetetlenségi nyomatékukat a \(\displaystyle T\) tömegközéppontjukra vonatkoztatva. (Használjuk az I. megoldás jelöléseit!)

2. ábra

Az ábrán \(\displaystyle 2k\ell\)-lel jelölt ,,hiányzó rész'' hossza

\(\displaystyle 2k\ell=2\ell\sin 18^\circ, \qquad \text{vagyis}\qquad k=\sin 18^\circ=0{,}309.\)

Egy-egy rúd tehetetlenségi nyomatéka a saját tömegközéppontjára \(\displaystyle \frac{1}{12}m\ell^2,\) így a két rúdé a \(\displaystyle T\) tömegközéppontra vonatkoztatva (a Steiner-tétel alkalmazásával):

\(\displaystyle \Theta_T^\text{(két rúd)}=2\left(\frac{1}{12}+\left(k+\frac{1}{2}\right)^2 \right)m\ell^2=1{,}476\,m\ell^2.\)

Az \(\displaystyle S\) középpontra vonatkoztatva a két rúd tehetetlenségi nyomatéka (felhasználva, hogy \(\displaystyle PT=d=\frac{\sin 18^\circ}{{\rm tg}\, 36^\circ}\ell=0{,}425\,\ell\))

\(\displaystyle \Theta_P^\text{(két rúd)}=\Theta_T^\text{(két rúd)}+2md^2=1{,}837\,m\ell^2, \)

a teljes csillagé pedig (ugyancsak \(\displaystyle S\)-re vonatkoztatva)

\(\displaystyle \Theta_T^\text{(csillag)}=5\cdot \Theta_T^\text{(két rúd)}=9{,}186\,m\ell^2=0{,}919\,M\ell^2.\)

(A megoldás további menete megegyezik az I. megoldáséval.)

Statisztika:

33 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Gábriel Tamás, Somlán Gellért, Téglás Panna, Toronyi András, Vig Zsófia.
4 pontot kapott:	Bubics Gergely Dániel, Dóra Márton, Hauber Henrik, Kertész Balázs, Kovács Kinga, Mészáros Ádám, Nemeskéri Dániel, Waldhauser Miklós.
3 pontot kapott:	10 versenyző.
2 pontot kapott:	5 versenyző.
0 pontot kapott:	2 versenyző.
Nem versenyszerű:	2 dolgozat.

A KöMaL 2021. decemberi fizika feladatai