Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?

Problem P. 5365. (December 2021)

P. 5365. A homogeneous, thin rod of length \(\displaystyle \ell\), mass \(\displaystyle m\) is suspended by one of its ends. The rod displaced slightly from its equilibrium position is swung with period \(\displaystyle T_0=2\) s. Such a rod is called a seconds pendulum.

\(\displaystyle a)\) What is the length of the rods? A rigid frame jointed from such rods shown in the figure is then suspended at one of its corners. This five-pointed star can move freely in its plane about the point \(\displaystyle O\).

\(\displaystyle b)\) What is the oscillation period \(\displaystyle T\) of the five-pointed star displaced slightly from its equilibrium position?

(5 pont)

Deadline expired on January 17, 2022.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

I. megoldás. \(\displaystyle a)\) A homogén rúd (mint fizikai inga) lengésideje:

\(\displaystyle T_0=2\pi \sqrt{\frac{\frac13m\ell^2}{\frac12 mg\ell}}=2\pi\sqrt{\frac{2\ell }{3g}},\)

ahonnan a rúd hossza:

\(\displaystyle (1)\)\(\displaystyle \ell=\frac{3}{8\pi^2}\,gT_0^2\approx 1{,}5\ \rm m.\)

\(\displaystyle b)\) Az ötágú csillag tehetetlenségi nyomatékát először az \(\displaystyle S\) súlypontra vonatkozóan számoljuk ki. Az \(\displaystyle S\) pontból az egyes oldalak végpontjaiba mutató vektorok hosszára az 1. ábra alapján az alábbi egyenleteket írhatjuk:

\(\displaystyle R \cos 2 \alpha = r \cos \alpha\qquad \text{és}\qquad r \sin \alpha = \ell\sin \beta,\)

ahol \(\displaystyle \alpha = \frac{360^\circ}{10}=36^\circ\) és \(\displaystyle \beta = 90^\circ -2\alpha = 18 ^\circ\). Innen kapjuk, hogy

\(\displaystyle R = \ell \, \mathrm{ctg}\,\alpha = 1{,}376\, \ell \qquad \text{és}\qquad r = \frac{\cos 2\alpha}{\sin \alpha} \,\ell = 0{,}526\, \ell. \)


1. ábra

A hivatkozott cikk (4) képlete alapján a súlypontra vonatkoztatott tehetetlenségi nyomaték:

\(\displaystyle \Theta_S = \frac{10 m}{6}\, \left(3 R^2 + 3 r^2-\ell^2 \right) = 0{,}919\, {M \ell^2}, \)

ahol \(\displaystyle M= 10 m\) a csillag teljes tömege. A Steiner-tétel szerint a csillag teljes tehetetlenségi nyomatéka az \(\displaystyle O\) pontra vonatkoztatva:

\(\displaystyle \Theta = \Theta _S + M R^2 = 2{,}813 \, M \ell^2. \)

Mivel a súlypont távolsága az \(\displaystyle O\) ponttól \(\displaystyle R\), így az \(\displaystyle M\) tömegű csillag lengésének peridusideje:

\(\displaystyle T = 2 \pi \, \sqrt{\frac{\Theta}{M g R}} = 8{,}98 \, \sqrt{\frac{\ell}{g}}, \)

azaz (1) felhasználásával

\(\displaystyle T \approx 3{,}5~\rm s.\)

II. megoldás. Az ötágú csillag tehetetlenségi nyomatékát más megfontolással is kiszámíthatjuk. Tekintsük a 2. ábrán vastag vonallal jelölt két rudat, és számítsuk ki a tehetetlenségi nyomatékukat a \(\displaystyle T\) tömegközéppontjukra vonatkoztatva. (Használjuk az I. megoldás jelöléseit!)


2. ábra

Az ábrán \(\displaystyle 2k\ell\)-lel jelölt ,,hiányzó rész'' hossza

\(\displaystyle 2k\ell=2\ell\sin 18^\circ, \qquad \text{vagyis}\qquad k=\sin 18^\circ=0{,}309.\)

Egy-egy rúd tehetetlenségi nyomatéka a saját tömegközéppontjára \(\displaystyle \frac{1}{12}m\ell^2,\) így a két rúdé a \(\displaystyle T\) tömegközéppontra vonatkoztatva (a Steiner-tétel alkalmazásával):

\(\displaystyle \Theta_T^\text{(két rúd)}=2\left(\frac{1}{12}+\left(k+\frac{1}{2}\right)^2 \right)m\ell^2=1{,}476\,m\ell^2.\)

Az \(\displaystyle S\) középpontra vonatkoztatva a két rúd tehetetlenségi nyomatéka (felhasználva, hogy \(\displaystyle PT=d=\frac{\sin 18^\circ}{{\rm tg}\, 36^\circ}\ell=0{,}425\,\ell\))

\(\displaystyle \Theta_P^\text{(két rúd)}=\Theta_T^\text{(két rúd)}+2md^2=1{,}837\,m\ell^2, \)

a teljes csillagé pedig (ugyancsak \(\displaystyle S\)-re vonatkoztatva)

\(\displaystyle \Theta_T^\text{(csillag)}=5\cdot \Theta_T^\text{(két rúd)}=9{,}186\,m\ell^2=0{,}919\,M\ell^2.\)

(A megoldás további menete megegyezik az I. megoldáséval.)


Statistics:

33 students sent a solution.
5 points:Gábriel Tamás, Somlán Gellért, Téglás Panna, Toronyi András, Vig Zsófia.
4 points:Bubics Gergely Dániel, Dóra Márton, Hauber Henrik, Kertész Balázs, Kovács Kinga, Mészáros Ádám, Nemeskéri Dániel, Waldhauser Miklós.
3 points:10 students.
2 points:5 students.
0 point:2 students.
Unfair, not evaluated:2 solutionss.

Problems in Physics of KöMaL, December 2021