 |
A P. 5371. feladat (2021. december) |
P. 5371. A tau-részecske (\(\displaystyle \tau\)) elektromos töltése ugyanakkora, mint az elektroné. Tömege 3470-szer akkora, mint az elektroné és 1,89-szer akkora, mint a protoné. Nagyon rövid az élettartama (\(\displaystyle 3\cdot 10^{-13}\) s), mégis előfordulhat, hogy a protonnal kötött rendszert alkot. Ebben az esetben a két részecske a közös tömegközéppont körül körpályán kering, és a rendszer teljes perdülete \(\displaystyle n\hbar\) \(\displaystyle (n=1,2,\ldots)\).
\(\displaystyle a)\) Adjuk meg a \(\displaystyle \tau\)-proton atom és a H-atom színképeiben a megfelelő hullámhosszak arányát!
\(\displaystyle b)\) Mekkora a \(\displaystyle \tau\)-proton atom kötési energiája?
Közli: Simon Péter, Pécs
(5 pont)
A beküldési határidő 2022. január 17-én LEJÁRT.
Megoldás. Két atomi részecske kötött állapotát a Bohr-modell keretei között tárgyaljuk. Legyen a részecskék tömege \(\displaystyle m\) és \(\displaystyle M\), töltésük \(\displaystyle \pm e\) (ahol \(\displaystyle e\) az elemi töltés), távolságuk \(\displaystyle L\), a közös tömegközéppontjuk körüli forgásuk szögsebessége pedig \(\displaystyle \omega\). Az \(\displaystyle m\) tömegű részecske a tömegközépponttól \(\displaystyle \frac{M}{m+M}L\) távol van, így a mozgásegyenlete:
| \(\displaystyle (1)\) | \(\displaystyle \frac{mM}{m+M}L\omega^2=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{e^2}{L^2}.\) |
(Ugyanezt az összefüggést kapjuk a \(\displaystyle M\) tömegű részecske mozgásegyenletéből is.)
A Bohr-féle kvantumfeltétel szerint:
\(\displaystyle m\left( \frac{M}{m+M}L \right)^2\omega+M\left( \frac{m}{m+M}L \right)^2\omega=n\hbar,\)
vagyis
| \(\displaystyle (2)\) | \(\displaystyle \frac{mM}{m+M}L^2\omega=n\hbar.\) |
Az (1) és (2) egyenletből megkapjuk az \(\displaystyle n\)-edik állapot energiáját:
\(\displaystyle E_n=-\frac{mM}{m+M}\cdot \frac{e^4}{8\varepsilon_0^2h^2}\cdot \frac{1}{n^2}.\)
Ez ,,csupán'' annyiban különbözik a rögzítettnek képzelt proton (vagyis a \(\displaystyle M\gg m\)) esettől, hogy az ott szereplő elektrontömeg (\(\displaystyle m\)) helyett \(\displaystyle \frac{mM}{m+M}\), az ún. redukált tömeg jelenik meg a formulában (ahol \(\displaystyle M\) a másik részecske tömege).
A rendszer kötési energiája arányos a redukált tömeggel. A hidrogénatomnál \(\displaystyle M=1836~m\gg m\) miatt a redukált tömeg gyakorlatilag az elektron tömege, és az energiaszintek értéke:
\(\displaystyle E_n=-\frac{13{,}6~\rm eV}{n^2}.\)
A \(\displaystyle \tau\)-proton atomban a redukált tömeg
\(\displaystyle \frac{m_{\tau}m_\text{proton}} {m_{\tau}+m_\text{proton}}=\frac{1{,}89}{2{,}89}m_\text{proton}=\frac{1{,}89}{2{,}89}\cdot 1836~m =1200~m. \)
Eszerint a tau-proton rendszer energiaszintjei a hidrogénatom megfelelő energiaszintjeinek 1200-szorosai.
\(\displaystyle a)\) Az atom által kisugárzott elektromágneses sugárzás frekvenciája az energiakülönbségekkel, a hullámhossza pedig az energiakülönbségek reciprokával arányos. Emiatt a \(\displaystyle \tau\)-proton atom és a H-atom színképeiben a megfelelő hullámhosszak aránya \(\displaystyle 1:1200\).
\(\displaystyle b)\) A kötési energia (\(\displaystyle \vert E_1\vert)\) a redulált tömeggel arányos, ami a \(\displaystyle \tau\)-proton atom esetében 1200-szor nagyobb, mint a H-atom 13,6 eV-os kötési energiája.
Statisztika:
15 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: Bencz Benedek, Kertész Balázs, Kürti Gergely, Nemeskéri Dániel, Téglás Panna, Toronyi András. 4 pontot kapott: Schmercz Blanka. 3 pontot kapott: 1 versenyző. 2 pontot kapott: 2 versenyző. 1 pontot kapott: 2 versenyző. 0 pontot kapott: 2 versenyző.
A KöMaL 2021. decemberi fizika feladatai