Problem P. 5371. (December 2021)
P. 5371. The electric charge of a tau particle is the same as the electric charge of an electron. Its mass is 3470 times more than that of the electron, and 1.89 times more that of the proton. Its lifetime is very short (\(\displaystyle 3\cdot 10^{-13}\) s), but it may occur that it forms a bound system with a proton. In this case the two particles revolve in circular orbit around their common centre of mass, and the total angular momentum of the system is \(\displaystyle n\hbar\) \(\displaystyle (n=1,2,\ldots)\).
\(\displaystyle a)\) Determine the ratio of the wavelengths of the corresponding spectral lines of the \(\displaystyle \tau\)-proton atom and the hydrogen atom.
\(\displaystyle b)\) What is the binding energy of the \(\displaystyle \tau\)-proton atom?
(5 pont)
Deadline expired on January 17, 2022.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. Két atomi részecske kötött állapotát a Bohr-modell keretei között tárgyaljuk. Legyen a részecskék tömege \(\displaystyle m\) és \(\displaystyle M\), töltésük \(\displaystyle \pm e\) (ahol \(\displaystyle e\) az elemi töltés), távolságuk \(\displaystyle L\), a közös tömegközéppontjuk körüli forgásuk szögsebessége pedig \(\displaystyle \omega\). Az \(\displaystyle m\) tömegű részecske a tömegközépponttól \(\displaystyle \frac{M}{m+M}L\) távol van, így a mozgásegyenlete:
| \(\displaystyle (1)\) | \(\displaystyle \frac{mM}{m+M}L\omega^2=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{e^2}{L^2}.\) |
(Ugyanezt az összefüggést kapjuk a \(\displaystyle M\) tömegű részecske mozgásegyenletéből is.)
A Bohr-féle kvantumfeltétel szerint:
\(\displaystyle m\left( \frac{M}{m+M}L \right)^2\omega+M\left( \frac{m}{m+M}L \right)^2\omega=n\hbar,\)
vagyis
| \(\displaystyle (2)\) | \(\displaystyle \frac{mM}{m+M}L^2\omega=n\hbar.\) |
Az (1) és (2) egyenletből megkapjuk az \(\displaystyle n\)-edik állapot energiáját:
\(\displaystyle E_n=-\frac{mM}{m+M}\cdot \frac{e^4}{8\varepsilon_0^2h^2}\cdot \frac{1}{n^2}.\)
Ez ,,csupán'' annyiban különbözik a rögzítettnek képzelt proton (vagyis a \(\displaystyle M\gg m\)) esettől, hogy az ott szereplő elektrontömeg (\(\displaystyle m\)) helyett \(\displaystyle \frac{mM}{m+M}\), az ún. redukált tömeg jelenik meg a formulában (ahol \(\displaystyle M\) a másik részecske tömege).
A rendszer kötési energiája arányos a redukált tömeggel. A hidrogénatomnál \(\displaystyle M=1836~m\gg m\) miatt a redukált tömeg gyakorlatilag az elektron tömege, és az energiaszintek értéke:
\(\displaystyle E_n=-\frac{13{,}6~\rm eV}{n^2}.\)
A \(\displaystyle \tau\)-proton atomban a redukált tömeg
\(\displaystyle \frac{m_{\tau}m_\text{proton}} {m_{\tau}+m_\text{proton}}=\frac{1{,}89}{2{,}89}m_\text{proton}=\frac{1{,}89}{2{,}89}\cdot 1836~m =1200~m. \)
Eszerint a tau-proton rendszer energiaszintjei a hidrogénatom megfelelő energiaszintjeinek 1200-szorosai.
\(\displaystyle a)\) Az atom által kisugárzott elektromágneses sugárzás frekvenciája az energiakülönbségekkel, a hullámhossza pedig az energiakülönbségek reciprokával arányos. Emiatt a \(\displaystyle \tau\)-proton atom és a H-atom színképeiben a megfelelő hullámhosszak aránya \(\displaystyle 1:1200\).
\(\displaystyle b)\) A kötési energia (\(\displaystyle \vert E_1\vert)\) a redulált tömeggel arányos, ami a \(\displaystyle \tau\)-proton atom esetében 1200-szor nagyobb, mint a H-atom 13,6 eV-os kötési energiája.
Statistics:
15 students sent a solution. 5 points: Bencz Benedek, Kertész Balázs, Kürti Gergely, Nemeskéri Dániel, Téglás Panna, Toronyi András. 4 points: Schmercz Blanka. 3 points: 1 student. 2 points: 2 students. 1 point: 2 students. 0 point: 2 students.
Problems in Physics of KöMaL, December 2021