Problem P. 5375. (January 2022)
P. 5375. One end of a thin, uniform-density stick lying in a frictionless horizontal plane is suddenly struck so that the the velocity of the end point is perpendicular to the stick and has a magnitude of \(\displaystyle v\).
\(\displaystyle a)\) Which part of the stick will have zero initial speed?
\(\displaystyle b)\) What is the speed and direction of the motion of the other end of the stick, at the moment when it starts to move?
(5 pont)
Deadline expired on February 18, 2022.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. A pálca mozgását a lendület- és a perdületmegmaradás tétele alapján írhatjuk le. Ha az \(\displaystyle \ell\) hosszúságú és \(\displaystyle m\) tömegű pálca egyik végét egy rövid ideig tartó erőhatás éri, amelynek ,,erőlökése'' \(\displaystyle I\), akkor az \(\displaystyle m\) tömegű pálca tömegközéppontja
| \(\displaystyle (1)\) | \(\displaystyle v_\text{tkp}=\frac{I}{m}\) |
sebességgel indul el, és a szögsebesség hirtelen
| \(\displaystyle (2)\) | \(\displaystyle \omega=\frac{I}{\Theta}\cdot \frac{\ell}2 \) |
értéket vesz fel. Az erőlökést kiküszöbölve (1) és (2)-ből \(\displaystyle \Theta=\frac{1}{12}m\ell^2\) felhasználásával kapjuk, hogy
| \(\displaystyle (3)\) | \(\displaystyle \ell\omega=6v_\text{tkp}.\) |
A pálca tömegközéppontjától \(\displaystyle x\) távolságra lévő pont kezdősebessége (ha \(\displaystyle x\)-et a megütött végpont felé tekintjük pozitívnak)
| \(\displaystyle (4)\) | \(\displaystyle v(x)=v_\text{tkp}+x\omega=v_\text{tkp}\left(1+6\frac{x}{\ell}\right).\) |
\(\displaystyle a)\) Leolvashatjuk, hogy \(\displaystyle v(-\ell/6)=0\), tehát a pálcának a megütött végétől távolabbi harmadolópontja lesz az a pont, amelyik zérus kezdősebességgel kezd el mozogni.
\(\displaystyle b)\) Mivel tudjuk, hogy \(\displaystyle v(\ell/2)=v\), (4) alapján
\(\displaystyle v_\text{tkp}=\frac{1}{4}v,\)
továbbá
\(\displaystyle v(-\ell/2)=-2\,v_\text{tkp}=-\frac{v}{2}.\)
A pálca másik vége tehát feleakkora, de ellentétes irányú sebességgel indul el, mint a meglökött pálcavég.
Statistics:
25 students sent a solution. 5 points: Bencz Benedek, Dóra Márton, Gábriel Tamás, Kertész Balázs, Nemeskéri Dániel, Seprődi Barnabás Bendegúz, Somlán Gellért, Téglás Panna, Toronyi András, Vágó Botond, Waldhauser Miklós. 3 points: 1 student. 1 point: 1 student. 0 point: 12 students.
Problems in Physics of KöMaL, January 2022