Problem P. 5376. (January 2022)

P. 5376. A horizontal tank of length \(\displaystyle 2L\) is divided into into two parts, having equal volume, by a thermally insulating piston. Both parts contain a sample of ideal gas of \(\displaystyle n\) moles of diatomic molecules at a temperature of \(\displaystyle T_0\). To each side of the piston a horizontal spring of spring constant \(\displaystyle D\) is attached. Both springs are designed for compression and tension and their other ends are fixed to the vertical walls of the container. The springs are initially unstretched. When the gas in the right part of the container is slowly heated, the piston moves a distance of \(\displaystyle L/2\) towards the left. During the process the gas in the left part is connected to a high heat capacity heat reservoir of temperature \(\displaystyle T_0\).

\(\displaystyle a)\) What is the pressure of the gas in the right part when the piston has moved a distance of \(\displaystyle x\) from the original position?

\(\displaystyle b)\) Determine the heat absorbed by the gas in the right part during the whole process.

(5 pont)

Deadline expired on February 18, 2022.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

I. megoldás. Jelöljük az egész tartály térfogatát \(\displaystyle 2V_0\)-lal, a dugattyú keresztmetszetét pedig \(\displaystyle A\)-val (\(\displaystyle V_0=LA\)).

Számítsuk ki, mekkora a nyomás a bal oldali, illetve a jobb oldali térfélben, amikor a bal oldali rész térfogata \(\displaystyle V\). A bal oldali részben lévő gáz izotermikusan nyomódik össze, így

\(\displaystyle p^\text{(bal)}(V)=p_0V_0\frac{1}{V}.\)

\(\displaystyle a)\) A dugattyú \(\displaystyle x=\frac{V_0-V}{A}\) elmozdulásakor a két rugó összesen \(\displaystyle 2Dx\) erőt fejt ki. A dugattyú egyensúlyának feltétele:

\(\displaystyle Ap^\text{(bal)}+2Dx-Ap^\text{(jobb)}=0,\)

vagyis

\(\displaystyle p^\text{(jobb)}(V)=p_0V_0\frac{1}{V}+\frac{2D}{A^2}\left(V_0-V\right),\)

azaz

\(\displaystyle p^\text{(jobb)}(x)=p_0\frac{1}{1-\frac xL}+\frac{2D}{A}\cdot x.\)

\(\displaystyle b)\) Írjuk fel a hőtan I. főtételét a jobb oldali térfélben lévő gázra:

\(\displaystyle Q=\Delta E_{\rm b}+W^\text{(gáz)}.\)

A kezdeti állapotban a gáz nyomása \(\displaystyle p_0\), térfogata \(\displaystyle V_0\), a folyamat végén pedig \(\displaystyle p_1=2p_0+\frac{2D}{A^2}\frac{V_0}{2},\) a térfogata pedig \(\displaystyle V_1=\frac{3}{2}V_0.\) A belső energia megváltozása ezek szerint

\(\displaystyle \Delta E_{\rm b}=\frac{5}{2}\left(p_1V_1-p_0V_0\right)=\frac{5}{2}\left(2p_0+\frac{2D}{A^2}\frac{V_0}{2}\right)\,\frac{3}{2}V_0-\frac{5}{2}p_0V_0 =5p_0V_0+\frac{15}{4}DL^2.\)

A gáz által végzett munka a teljes folyamat során:

\(\displaystyle W^\text{(gáz)}=\sum_{V=V_0}^{V_0/2}p^\text{(jobb)}\cdot \Delta V= \sum_{V=V_0/2}^{V_0 }p_0V_0 \frac{\Delta V}{V}+\sum_{V=V_0/2}^{V_0 }\frac{2D}{A^2}\left(V_0-V\right)\Delta V. \)

Az első összeg éppen az izotermikus tágulásnak megfelelő \(\displaystyle p_0V_0\ln2\) (lásd pl. a Függvénytáblázatot, vagy az integrálszámítás \(\displaystyle \int (1/x){\rm d}x=\ln x+\text{állandó}\) képletét). A második összegben \(\displaystyle V\) lineárisan változó kifejezése szerepel, ami \(\displaystyle V=V_0/2\)-nél \(\displaystyle DV_0/A^2,\) és \(\displaystyle V=V_0\)-nál nulla, így az átlagos értéke \(\displaystyle DV_0/(2A^2).\) Ezt megszorozva a térfogat teljes változásával, vagyis \(\displaystyle V_0/2\)-vel, az eredmény \(\displaystyle DV_0^2/(4A^2)=DL^2/4.\) A gáz által végzett munka ezek szerint

\(\displaystyle W^\text{(gáz)}=\ln2\cdot p_0V_0+\frac{1}{4}DL^2,\)

a felvett hő pedig

\(\displaystyle Q= \left(5+\ln2\right)p_0V_0+4DL^2,\)

amit így is írhatunk:

\(\displaystyle Q=(5+\ln 2)\,nRT_0+4DL^2.\)

II. megoldás. Írjuk fel az I. főtételt a teljes rendszerre (ami a tartály két részéből és a rugókból áll). A jobb oldali térfélben lévő gáz felvesz valamekkora \(\displaystyle Q\) hőt, a bal oldali részben lévő gáz viszont lead \(\displaystyle Q^\text{(le)}\) hőt a hőtartálynak. Az I. főtétel szerint

\(\displaystyle Q-Q^\text{(le)}=\Delta E_{\rm b}^{\text(\rm bal)}+\Delta E_{\rm b}^\text{(jobb)}+\Delta E^\text{(rugalmas)}.\)

A bal oldalon lévő gáz hőmérséklete nem változik, emiatt \(\displaystyle \Delta E_{\rm b}^\text{(bal)}=0\). A jobb oldali gázra (az I. megoldás jelöléseit és megfontolásait követve) felírhatjuk:

\(\displaystyle \Delta E_{\rm b}^\text{(jobb)}=5p_0V_0+\frac{15}{4}DL^2.\)

Az összenyomott és kinyújtott rugók rugalmas energiája:

\(\displaystyle E^\text{(rugalmas)}=\frac{1}{2}D\left(\frac{L}{2}\right)^2+\frac{1}{2}D\left(\frac{L}{2}\right)^2=\frac14 DL^2.\)

A bal oldali térfélben lévő gázon a dugattyú az izotermikus összenyomás során \(\displaystyle \ln2\cdot p_0V_0\) munkát végez. A gáz belső energiája nem változik, tehát a leadott hő is ugyanakkora, mint a munka:

\(\displaystyle Q^\text{(le)}=\ln2\cdot p_0V_0.\)

Így az I. főtétel szerint

\(\displaystyle Q=Q^\text{(le)}+\Delta E_{\rm b}^\text{(jobb)}+\Delta E^\text{(rugalmas)} =(5+\ln 2)\,nRT_0+4DL^2.\)

Statistics:

30 students sent a solution.
5 points:	Bencz Benedek, Kertész Balázs, Somlán Gellért, Toronyi András.
4 points:	Antalóczy Szabolcs, Biebel Botond, Gábriel Tamás, Kürti Gergely, Nemeskéri Dániel, Pethő Dorottya, Schmercz Blanka, Téglás Panna, Varga Mária Krisztina, Waldhauser Miklós, Yokota Adan.
3 points:	5 students.
2 points:	7 students.
1 point:	2 students.
Unfair, not evaluated:	1 solutions.

Problems in Physics of KöMaL, January 2022