Problem P. 5377. (January 2022)

P. 5377. Three point-like objects, each having an electric charge of \(\displaystyle q\), are fixed at the vertices of an equilateral triangle. Another point-like object of charge \(\displaystyle Q\) is placed to the centroid of the triangle. What should the charge \(\displaystyle Q\) of this fourth object be in order that even if the fixation of the objects is ceased all of the charged objects remain at rest?

(4 pont)

Deadline expired on February 18, 2022.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

I. megoldás. Ha a háromszög oldalainak hossza \(\displaystyle a\), akkor két-két, \(\displaystyle q\) nagyságú töltés között \(\displaystyle kq^2/a\) erő hat. A háromszög középpontja és a csúcspontok távolsága \(\displaystyle a/\sqrt3\), így a \(\displaystyle q\) és \(\displaystyle Q\) (előjeles) nagyságú töltések között ható erő \(\displaystyle 3kqQ/a^2\).

A csúcspontban lévő bármelyik töltésre ható erők eredője akkor nulla, ha

\(\displaystyle k\frac{q^2}{a^2}\cdot \sqrt3+3k\frac{qQ}{a^2}=0,\qquad \text{azaz} \qquad Q=-\frac{1}{\sqrt{3}}q.\)

(Az egyensúlyi helyzet instabil, bármelyik töltés kicsiny elmozdítása után a töltések szétszaladnak, esetleg összetalálkoznak.)

II. megoldás. A töltésrendszer potenciális energiája

\(\displaystyle {\cal E}=3k\frac{q^2}{a}+3k\frac{qQ}{a/\sqrt{3}}=\frac{3kq}{a}\left(q+\sqrt{3}Q\right).\)

Ha a töltésrendszer egyensúlyban van, akkor \(\displaystyle a\) kicsiny változására \(\displaystyle {\cal E}\) nem változhat meg. Ez akkor teljesül, ha a fenti képletben a zárójelben álló kifejezés nulla, vagyis \(\displaystyle Q=-q/\sqrt{3}\).

Statistics:

62 students sent a solution.
4 points:	Bányai Kristóf, Beke Bálint, Csonka Illés, Dóra Márton, Elekes Dorottya, Fajszi Karsa, Ferencz Kamilla, Kovács Kinga, Kürti Gergely, Marozsi Lenke Sára, Mészáros Ádám, Molnár Kristóf, Nemeskéri Dániel, Pethő Dorottya, Schmercz Blanka, Somlán Gellért, Toronyi András, Waldhauser Miklós.
3 points:	Antalóczy Szabolcs, Bacsó Dániel, Bálint Máté, Biebel Botond, Brezina Gergely, Füles Ferenc, Hegedűs Máté Miklós, Hetényi Klára Tímea, Jirkovszky-Bari László, Juhász Júlia, Juhász-Molnár Erik, Kohut Márk Balázs, Nagy 456 Imre, Sándor Dominik, Tatár Ágoston, Vágó Botond, Varga Mária Krisztina, Veszprémi Rebeka Barbara, Vig Zsófia.
2 points:	11 students.
1 point:	3 students.
0 point:	1 student.
Unfair, not evaluated:	8 solutionss.

Problems in Physics of KöMaL, January 2022