Problem P. 5379. (January 2022)

P. 5379. With the help of ideal polarizing filters, we would like to turn the polarization plane of linearly polarized light by \(\displaystyle 45^\circ\) in order to reduce the intensity loss by at most 10%. At least how many polarizing filters are needed and how should they be optimally arranged?

(5 pont)

Deadline expired on February 18, 2022.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A rövidség kedvéért nevezzük egy ideális polárszűrő irányának a szűrőn áthaladó fény polarizációjának irányát. Ha egy lineárisan polarizált fény polarizációs irányával \(\displaystyle \alpha\) szöget bezáró irányú szűrőt helyezünk el, és a fényhullám \(\displaystyle \boldsymbol E\) elektromos térerősségvektorát felbontjuk a polárszűrő irányával párhuzamos és arra merőleges összetevőkre, akkor a szűrő csak az \(\displaystyle \boldsymbol E\cdot \cos\alpha\) nagyságú komponenst engedi át. A polárszűrő tehát az elektromos térerősség nagyságát \(\displaystyle \cos\alpha\) arányban, az intenzitást \(\displaystyle \cos^2\alpha\) arányban csökkenti, és a fény polarizáció irányát \(\displaystyle \alpha\) szöggel elforgatja.

Ha \(\displaystyle n\) darab polárszűrőt helyezünk el egymáshoz képest ugyanakkora, \(\displaystyle \alpha= {45^\circ}/{n}\) szögben, akkor az együttes hatásukra a fény intenzitása \(\displaystyle \cos^{2n}(45^\circ/n)\) arányban csökken. Különböző \(\displaystyle n\) értékeket behelyettesítve ,,próbálgatással'' kapjuk, hogy a monoton növekvő arányszám-sorozat \(\displaystyle n=5\)-re még 0,88, \(\displaystyle n=6\)-ra viszont 0,902, tehát \(\displaystyle 90\%\)-nál nagyobb. Megállapíthatjuk, hogy legalább 6 db polárszűrőre van szükségünk, amelyeket egymással 7,5\(\displaystyle ^\circ\)-os szögben kell elhelyezzünk.

Be kell még látnunk, hogy ha a \(\displaystyle 45^\circ\)-os szöget nem egyenlő arányban osztjuk fel \(\displaystyle n\) részre, akkor az intenzitáscsökkenés nagyobb, tehát a helyzet kedvezőtlenebb lesz, mint az egyenközű felosztásnál volt. Tekintsünk egy olyan elrendezést, amelynél a szomszédos polárszűrők közötti szögek közül a legnagyobb \(\displaystyle \alpha\), a legkisebb pedig \(\displaystyle \beta\) (ahol \(\displaystyle \alpha\), \(\displaystyle \beta\) és \(\displaystyle \alpha+\beta\) is hegyesszög.)

Megmutatjuk, hogy ezen két szűrő által okozott intenzitáscsökkenés adott \(\displaystyle \alpha+\beta=\varphi\) mellett akkor a legkisebb, vagyis \(\displaystyle \cos^2\alpha\cdot \cos^2\beta\) akkor a legnagyobb, amikor \(\displaystyle \alpha=\beta=\frac12\varphi\). Valóben, az amplitúdók változási arányszámára fennáll:

\(\displaystyle \cos\alpha\cdot \cos\beta=\frac12 \cos(\alpha+\beta)+\frac12 \cos(\alpha-\beta)\le \frac12(\cos\varphi+1)=\cos^2(\varphi/2),\)

és ugyanilyen irányú egyenlőtlenség érvényes az intenzitásokra is. Az egyenlőség akkor teljesül, ha \(\displaystyle \alpha=\beta=\varphi/2\).

Ezek szerint ha a polárszűrők közötti legnagyobb és a legkisebb szöget azok átlagával helyettesítjük, az átengedett fény intenzitása megnő. Ezt az eljárást (véges vagy végtelen) sokszor megismételve eljutunk a legkedvezőbb helyzetig, amelyben a szomszédos polárszűrők mind ugyanakkora (\(\displaystyle 45^\circ/n\)) szöget zárnak be egymással.

Statistics:

9 students sent a solution.
5 points:	Gábriel Tamás, Hauber Henrik, Nemeskéri Dániel, Papp Marcell Imre, Téglás Panna, Toronyi András.
4 points:	Bencz Benedek, Kertész Balázs.

Problems in Physics of KöMaL, January 2022