Problem P. 5380. (January 2022)
P. 5380. In a special isotope laboratory, extreme activity \(\displaystyle {}^{137}\)Cs and \(\displaystyle {}^{60}\)Co sources are used to validate dosimeters. When the two high-purity radioactive sources were checked, it was found that in a minute approximately the same number of decays occurred in the case of the 68 mg caesium source, and in the case of the cobalt source of unknown mass.
\(\displaystyle a)\) What is the mass of the cobalt source?
\(\displaystyle b)\) After how long and which source will have twice the activity of the other? (Half-life of \(\displaystyle {}^{137}\)Cs: 30.17 years, half-life of \(\displaystyle {}^{60}\)Co: 5.27 years.)
(4 pont)
Deadline expired on February 18, 2022.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. \(\displaystyle a)\) Egy sugárforrás aktivitása (időegységenkéti bomlások száma) a minta \(\displaystyle m\) tömegével egyenesen, a moláris tömeg és a felezési idő szorzatával pedig fordítottan arányos. Eszerint
\(\displaystyle \frac{m_\text{Cs}}{M_\text{Cs}T_\text{Cs}}=\frac{m_\text{Co}}{M_\text{Co}T_\text{Co}},\)
vagyis a kobaltforrás tömege:
\(\displaystyle m_\text{Co}=68~{\rm mg}\cdot \frac{60}{137}\cdot\frac{5{,}27}{30{,}17}=5{,}2~\rm mg.\)
\(\displaystyle b)\) A sugárforrások aktivitása a részecskeszámmal arányos, ami az exponenciális bomlástörvény segítségével határozható meg. A kobalt felezési ideje rövidebb, mint a céziumé, tehát a kobaltatomok száma csökken gyorsabban. A kobalt aktivitása \(\displaystyle t\) idő múlva (az időt években mérve) akkor lesz feleakkora, mint a céziumé, ha
\(\displaystyle 2^{- {t}/{5{,}27}}=2^{- {t}/{30{,}17}}\cdot 2^{-1}.\)
Innen
\(\displaystyle \frac{t}{5{,}27}=\frac{t}{30{,}17}+1,\qquad \text{azaz}\qquad t=6{,}39~\text{év}.\)
Statistics:
38 students sent a solution. 4 points: Bagu Bálint, Albert Máté, Bencz Benedek, Dóra Márton, Elekes Dorottya, Kovács Kinga, Molnár Kristóf, Nemeskéri Dániel, Schmercz Blanka, Tatár Ágoston, Téglás Panna, Toronyi András, Vágó Botond, Varga Mária Krisztina, Veszprémi Rebeka Barbara. 3 points: Antalóczy Szabolcs, Bacsó Dániel, Beke Bálint, Brezina Gergely, Füles Ferenc, Hegedűs Máté Miklós, Jirkovszky-Bari László, Josepovits Gábor, Kertész Balázs, Magyar Gábor Balázs, Papp Marcell Imre, Vadász Roland. 2 points: 4 students. 1 point: 2 students. 0 point: 3 students. Unfair, not evaluated: 2 solutionss.
Problems in Physics of KöMaL, January 2022