Problem P. 5381. (January 2022)
P. 5381. An (insulating) glass container is filled with mercury. A vertical capillary tube of diameter \(\displaystyle d=0.5\) mm is immersed in the mercury as shown in the figure. Above the surface of the mercury at a height of \(\displaystyle h=6\) mm, a large, horizontal metal sheet is placed. How much does the mercury level in the capillary tube change if a DC voltage source of \(\displaystyle U=20\) kV is connected across the mercury and the metal sheet?
(6 pont)
Deadline expired on February 18, 2022.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. A higany felszíne felett a bekapcsolt egyenfeszültség miatt
\(\displaystyle E=\frac{U}{h}\)
erősségű elektromos tér alakul ki. A kapilláris belsejében – mint egy majdnem zárt Faraday-kalickában – jó közelítéssel nulla az elektromos térerősség. (Ez abból is következik, hogy a kapilláris cső közvetlen közelében a higany ekvipotenciális, tehát a térerősség ott nulla, és ez a vékony cső belsejében sem tud megváltozni, hiszen az elektrosztatikus mező forrásmentes és örvénymentes.)
Az elektromos tér hatására a higany felületén elektromos töltések jelennek meg, melyek felületi sűrűsége a Gauss-féle fluxustörvény szerint
\(\displaystyle \sigma=\varepsilon_0 E.\)
Az elektromos mező ezekre a felületi töltésekre felületegységenként
\(\displaystyle p=\frac{1}{2}\sigma E=\frac{1}{2}\varepsilon_0 E^2=\frac{1}{2}\varepsilon_0 \left(\frac{U}{h}\right)^2\)
húzóerőt fejt ki, annak iránya nem függ a feszültségforrás polaritásától. (Az 1/2-es faktor onnan származik, hogy a higany felett \(\displaystyle E\) erősségű az elektromos tér, a higanyban nulla, átlagosan tehát \(\displaystyle \tfrac12 E\) térerősség hat a felületi töltésekre.)
Az elektromos húzóerő hatására a higanyban mindenhol, így a kapilláris alsó végével megegyező mélységben is lecsökken a nyomás \(\displaystyle p\) értékkel. A kapillárisban (amelyben lévő higanyra nem hat elektromos húzóerő) akkor csökken a nyomás ugyanennyivel, ha a csőben a higanyszint valamekkora \(\displaystyle y\) értékkel mélyebbre süllyed, és
\(\displaystyle \varrho g y=\frac{1}{2}\varepsilon_0 \left(\frac{U}{h}\right)^2.\)
Innen
\(\displaystyle y=\varepsilon_0\frac{U^2}{2\varrho gh^2}=0{,}36~\rm mm.\)
Látható, hogy az eredmény (a süllyedés mértéke) nem függ sem a kapilláris átmérőjétől, sem a feszültség előjelétől, de még a higany felületi feszültsége és az illeszkedési szöge sem játszik szerepet.
Statistics:
10 students sent a solution. 6 points: Gábriel Tamás, Hauber Henrik, Kürti Gergely, Nemeskéri Dániel, Téglás Panna. 5 points: Schmercz Blanka. 2 points: 1 student. 1 point: 3 students.
Problems in Physics of KöMaL, January 2022