Problem P. 5382. (February 2022)

P. 5382. An old tape magnetophone spins the takeup reel at a constant speed during a fast rewind. The inner diameter of both reels is 5 cm and their outer diameter is 15 cm. From the fully loaded feed reel, the rewinding time of the tape is 3 minutes. The tape is wound onto the initially empty takeup reel. How much time elapses from the start until the two reels have equal lengths of tape wound on them?

(4 pont)

Deadline expired on March 16, 2022.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Legyen a kérdéses pillanatban a szedőorsón lévő magnószalag-tekercs külső sugara \(\displaystyle x\) cm. A szalag vastagsága mindenhol ugyanakkora, ezért ha a szalagnak éppen a fele hossza van a szedőorsón, akkor

\(\displaystyle x^2\pi-5^2\pi=15^2\pi-x^2\pi,\)

vagyis

\(\displaystyle 2x^2=15^2+5^2,\qquad \text{azaz}\qquad x=\sqrt{125}=11{,}18.\)

A szedőorsó fordulatszáma mindvégig állandó, emiatt az áttekercselt rész külső sugara időben egyenletesen növekszik, vagyis

\(\displaystyle \frac{x-5}{15-5}=\frac{t}{3~\rm perc},\)

ahonnan a keresett idő:

\(\displaystyle t=\frac{11{,}2-5}{15-5}\cdot 3~\text{perc}\approx 1{,}86~{\rm perc}.\)

Statistics:

36 students sent a solution.
4 points:	Bányai Kristóf, Bogdán Benedek, Czirók Tamás, Dóra Márton, Gábriel Tamás, Kiss Ádám , Kovács Kinga, Kovács Kristóf , Kuremszki Bálint, Kürti Gergely, Mészáros Ádám, Molnár Kristóf, Nemeskéri Dániel, Sándor Dominik, Seprődi Barnabás Bendegúz, Somlán Gellért, Tárnok Ede , Vig Zsófia.
3 points:	Csonka Illés, Horváth 221 Zsóka, Waldhauser Miklós.
2 points:	3 students.
1 point:	8 students.
0 point:	1 student.
Unfair, not evaluated:	2 solutionss.

Problems in Physics of KöMaL, February 2022