Problem P. 5383. (February 2022)

P. 5383. What would the mass of the Earth have to be — with unchanged rotation and diameter — so that we would not be able to receive the satellite TV broadcast with a parabolic dish in Budapest.

(5 pont)

Deadline expired on March 16, 2022.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Budapest a Föld középpontjától \(\displaystyle R\approx 6370~\rm km\) távol van, az Egyenlítő síkjától \(\displaystyle \vartheta=47{,}5^\circ\)-kal északra. Az Egyenlítő síkjában \(\displaystyle r\) sugarú körpályán keringő műholdat akkor nem láthatjuk Budapestről, ha

\(\displaystyle r<\frac{R}{\cos\vartheta}=9430~{\rm km}=r_\text{min}.\)

Legyen a Föld megváltozott tömege \(\displaystyle M^*\), de a forgási ideje a jelenlegi \(\displaystyle T=86\,400~\rm s\). (A műsorszóró műholdak ún. szinkronpályán, az Egyenlítő síkjában és a Földdel megegyező szögsebességgel mozognak. Csak így teljesülhet, hogy a földi antennák mindig ugyanott ,,látják'' a műholdat az égen.)

A vonzócentrum tömege és az \(\displaystyle r\) távolság közötti összefüggés (a Newton-féle gravitációs törvény és a mozgásegyenlet szerint):

\(\displaystyle \gamma \frac{M^*}{r^2}=r\left(\frac{2\pi}{T}\right)^2,\qquad \text{tehát}\qquad M^*=\frac{r^3}{\gamma}\left(\frac{2\pi}{T}\right)^2.\)

Ezek szerint a szinkronműhold akkor nem lenne látható, ha

\(\displaystyle M^*<\frac{r_\text{min}^3}{\gamma}\left(\frac{2\pi}{T}\right)^2= 6{,}7\cdot 10^{22}\ \rm kg\)

teljesülne. (Ez az érték kb. 90-szer kisebb, mint a Föld tényleges tömege.)

Statistics:

22 students sent a solution.
5 points:	Beke Bálint, Bencz Benedek, Ferencz Kamilla, Gábriel Tamás, Hauber Henrik, Horváth 221 Zsóka, Kertész Balázs, Kürti Gergely, Nagy 456 Imre, Pethő Dorottya, Téglás Panna, Toronyi András.
3 points:	2 students.
2 points:	4 students.
1 point:	1 student.
Unfair, not evaluated:	2 solutionss.

Problems in Physics of KöMaL, February 2022