Problem P. 5383. (February 2022)
P. 5383. What would the mass of the Earth have to be — with unchanged rotation and diameter — so that we would not be able to receive the satellite TV broadcast with a parabolic dish in Budapest.
(5 pont)
Deadline expired on March 16, 2022.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. Budapest a Föld középpontjától \(\displaystyle R\approx 6370~\rm km\) távol van, az Egyenlítő síkjától \(\displaystyle \vartheta=47{,}5^\circ\)-kal északra. Az Egyenlítő síkjában \(\displaystyle r\) sugarú körpályán keringő műholdat akkor nem láthatjuk Budapestről, ha
\(\displaystyle r<\frac{R}{\cos\vartheta}=9430~{\rm km}=r_\text{min}.\)
Legyen a Föld megváltozott tömege \(\displaystyle M^*\), de a forgási ideje a jelenlegi \(\displaystyle T=86\,400~\rm s\). (A műsorszóró műholdak ún. szinkronpályán, az Egyenlítő síkjában és a Földdel megegyező szögsebességgel mozognak. Csak így teljesülhet, hogy a földi antennák mindig ugyanott ,,látják'' a műholdat az égen.)
A vonzócentrum tömege és az \(\displaystyle r\) távolság közötti összefüggés (a Newton-féle gravitációs törvény és a mozgásegyenlet szerint):
\(\displaystyle \gamma \frac{M^*}{r^2}=r\left(\frac{2\pi}{T}\right)^2,\qquad \text{tehát}\qquad M^*=\frac{r^3}{\gamma}\left(\frac{2\pi}{T}\right)^2.\)
Ezek szerint a szinkronműhold akkor nem lenne látható, ha
\(\displaystyle M^*<\frac{r_\text{min}^3}{\gamma}\left(\frac{2\pi}{T}\right)^2= 6{,}7\cdot 10^{22}\ \rm kg\)
teljesülne. (Ez az érték kb. 90-szer kisebb, mint a Föld tényleges tömege.)
Statistics:
22 students sent a solution. 5 points: Beke Bálint, Bencz Benedek, Ferencz Kamilla, Gábriel Tamás, Hauber Henrik, Horváth 221 Zsóka, Kertész Balázs, Kürti Gergely, Nagy 456 Imre, Pethő Dorottya, Téglás Panna, Toronyi András. 3 points: 2 students. 2 points: 4 students. 1 point: 1 student. Unfair, not evaluated: 2 solutionss.
Problems in Physics of KöMaL, February 2022