Problem P. 5384. (February 2022)

P. 5384. There is a small ball placed on top of a thin, uniform, vertical stick. Compared to the mass of the stick, the mass of the ball is negligible and the stick stands on a table which can be considered frictionless. Suddenly the stick falls over. In which case will the ball strike the tabletop at a higher speed, if it is glued to the top of the stick, or if it is simply put on the stick, from where it can fall off very easily?

(4 pont)

Deadline expired on March 16, 2022.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. I. eset: A pálca tetejéhez ragasztott kicsiny golyó becsapódási sebessége mindvégig a pálca végpontjának sebességével egyezik meg. Ez a sebesség, ha a pálca szögsebessége \(\displaystyle \omega\), \(\displaystyle v_1=L\omega\), hiszen az alsó végpont a becsapódás pillanatában áll. Az energiamegmaradás törvénye szerint

\(\displaystyle mg\frac{L}{2}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{3}mL^2\right)\omega^2,\)

ahonnan

\(\displaystyle \omega=\sqrt{\frac{3g}{L}}, \qquad \text{tehát} \qquad v_1=\sqrt{3gL}.\)

Megjegyzés. Elvben elképzelhető lenne, hogy a pálca dőlése közben valamikor az alsó végpontja elválik az asztaltól, és emiatt a fenti számolás nem lenne helyes. Belátható, hogy ez nem következik be, mert az asztal által kifejtett, függőlegesen felfelé irányuló nyomóerő a mozgás során mindvégig pozitív marad, nem csökken le nullára.

II. eset: Ha a kis golyó nincs odaerősítve a pálcához, akkor már a mozgás kezdetekor lebillen a pálcáról és \(\displaystyle L\) magasságból függőlegesen, szabadon esik. Ilyenkor a golyó végsebessége

\(\displaystyle v_2=\sqrt{2gL},\)

ami kisebb, mint az első eset becsapódási sebessége.

Statistics:

42 students sent a solution.
4 points:	Bányai Kristóf, Bencz Benedek, Biebel Botond, Czirók Tamás, Gábriel Tamás, Horváth 221 Zsóka, Kertész Balázs, Kovács Kinga, Kovács Kristóf , Lighuen Belián Paz, Mészáros Ádám, Molnár Kristóf, Mozolai Bende Bruno, Nemeskéri Dániel, Pethő Dorottya, Schmercz Blanka, Somlán Gellért, Tárnok Ede , Téglás Panna, Toronyi András, Vágó Botond, Vig Zsófia.
3 points:	Antalóczy Szabolcs, Bogdán Benedek, Csonka Illés, Gázmár Kolos, Papp Marcell Imre, Seprődi Barnabás Bendegúz, Varga Mária Krisztina, Waldhauser Miklós.
2 points:	6 students.
1 point:	2 students.
0 point:	2 students.
Unfair, not evaluated:	2 solutionss.

Problems in Physics of KöMaL, February 2022