Problem P. 5387. (February 2022)
P. 5387. Different resistors of resistances \(\displaystyle R\) are connected to a battery of electromotive force \(\displaystyle U_0\) and of internal resistance \(\displaystyle R_{\mathrm{b}}\).
\(\displaystyle a)\) What is the maximum ``useful'' power (dissipated in the external resistor) that this battery can deliver? At what external resistance value \(\displaystyle R\) can we achieve this maximum power \(\displaystyle P_\text{max}\)?
\(\displaystyle b)\) Show that for any other power \(\displaystyle P\) which is smaller than \(\displaystyle P_\text{max}\), there are two external resistors of resistances \(\displaystyle R_1\ne R_2\) at which the dissipated power is \(\displaystyle P\). What is the arithmetic and the geometric mean of \(\displaystyle R_1\) and \(\displaystyle R_2\)?
\(\displaystyle c)\) What is the sum of the terminal voltages across the battery in the above two cases?
\(\displaystyle d)\) What is the sum of the currents through \(\displaystyle R_1\) and \(\displaystyle R_2\)?
\(\displaystyle e)\) The efficiency of the delivered energy is defined as the ratio of the useful power to the total power delivered by the battery. What is the sum of the efficiencies in the above two cases?
(4 pont)
Deadline expired on March 16, 2022.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. Az áramkörben
\(\displaystyle I=\frac{U_0}{R+R_{\rm b}}\)
erősségű áram folyik, így a külső, \(\displaystyle R\) nagyságú ellenállásra jutó (ott disszipálódó) teljesítmény
\(\displaystyle P=I^2R=U_0^2\frac{R}{\left(R_{\rm b}+R\right)^2}.\)
Ez az egyenlet (adott \(\displaystyle P\), \(\displaystyle U_0\) és\(\displaystyle R_{\rm b}\) esetén) \(\displaystyle R\)-re nézve másodfokú:
| \(\displaystyle (1)\) | \(\displaystyle R^2+\left(2R_{\rm b}-\frac{U_0^2}P\right)R+R_{\rm b}^2=0.\) |
\(\displaystyle a)\) Az (1) egyenletnek akkor van valós megoldása, ha a diszkrimináns nemnegatív:
\(\displaystyle \left(2R_{\rm b}-\frac{U_0^2}P\right)^2\ge 4R_{\rm b}^2,\)
vagyis
\(\displaystyle P\le \frac{U_0^2}{4R_{\rm b}}=P_\text{max}.\)
Amennyiben \(\displaystyle P=P_\text{max}\), az (1) egyenlet gyökei: \(\displaystyle R_1=R_2=R_{\rm b}.\)
\(\displaystyle b)\) Ha \(\displaystyle P<P_\text{max},\) akkor a másodfokú egyenletnek két különböző gyöke van. A gyökök és együtthatók közötti összefüggésekből következik, hogy a gyökök összege
| \(\displaystyle (2)\) | \(\displaystyle R_1+R_2= \frac{U_0^2}P-2R_{\rm b},\) |
a szorzatuk pedig
| \(\displaystyle (3)\) | \(\displaystyle R_1R_2=R_{\rm b}^2.\) |
Ennek megfelelően az \(\displaystyle R_1\) és \(\displaystyle R_2\) számtani közepe
\(\displaystyle \frac{R_1+R_2}{2}=\frac{U_0^2}{2P}-R_{\rm b},\)
a mértani közepük pedig
\(\displaystyle \sqrt{R_1R_2}=R_{\rm b}.\)
\(\displaystyle c)\) \(\displaystyle R\) terhelő ellenállás esetén a kapocsfeszültség:
\(\displaystyle U =U_0-IR_{\rm b}=U_0\frac{R}{R+R_{\rm b}}.\)
Az (1) egyenlet két gyökéhez tartozó kapocsfeszültségek összege:
\(\displaystyle U_1+U_2=U_0\left(\frac{R_1}{R_1+R_{\rm b}}+\frac{R_2}{R_2+R_{\rm b}}\right)= \frac{2R_1R_2+\left(R_1+R_2\right)R_{\rm b} }{R_1R_2+\left(R_1+R_2\right)R_{\rm b}+R_{\rm b}^2 }\,U_0=U_0.\)
Az utolsó lépésnél kihasználtuk (3)-at.
\(\displaystyle d)\) Az áramok összege:
\(\displaystyle I_1+I_2=\frac{U_0}{R_1+R_{\rm b}}+\frac{U_0}{R_2+R_{\rm b}}=U_0\frac{\left(R_1+R_2\right)+2R_{\rm b} } {R_1R_2+\left(R_1+R_2\right)R_{\rm b}+R_{\rm b}^2 } =\frac{U_0}{R_{\rm b}}.\)
Az utolsó lépésben ismét kihasználtuk, hogy (3) szerint \(\displaystyle R_1R_2=R_{\rm b}^2\).
\(\displaystyle e)\) A hatásfok \(\displaystyle R\) terhelőellenállás esetén:
\(\displaystyle \eta=\frac{P_\text{hasznos}}{P_\text{összes}}=\frac{I^2R}{U_0I}=\frac{IR}{U_0}=\frac{R}{R+R_{\rm b}}.\)
A kétféle terheléshez tartozó hatásfokok összege:
\(\displaystyle \eta_1+\eta_2=\frac{R_1}{R_1+R_{\rm b}}+\frac{R_2}{R_2+R_{\rm b}}= \frac { 2R_1R_2+\left(R_1+R_2\right)R_{\rm b} } {R_1R_2+\left(R_1+R_2\right)R_{\rm b}+R_{\rm b}^2 }=1.\)
Megjegyzés. Érdekes, hogy a \(\displaystyle c)\), \(\displaystyle d)\) és \(\displaystyle e)\) kérdésekre adott válasz nem függ a \(\displaystyle P\) teljesítmény nagyságától.
Statistics:
26 students sent a solution. 4 points: Antalóczy Szabolcs, Beke Bálint, Biebel Botond, Brezina Gergely, Dóra Márton, Hauber Henrik, Hegedűs Máté Miklós, Katona Attila Zoltán, Mozolai Bende Bruno, Nemeskéri Dániel, Papp Marcell Imre, Pethő Dorottya, Schmercz Blanka, Somlán Gellért, Toronyi András, Varga Mária Krisztina, Veszprémi Rebeka Barbara, Waldhauser Miklós. 3 points: Tatár Ágoston. 2 points: 4 students. 0 point: 2 students.
Problems in Physics of KöMaL, February 2022