Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A P. 5391. feladat (2022. március)

P. 5391. Egy mély kútba követ ejtünk. A csobbanás hangját 4,25 s-mal az elejtés után halljuk meg. Milyen mélynek találjuk a kutat, ha \(\displaystyle g = 10~\mathrm{m}/\mathrm{s^2}\)-tel és \(\displaystyle v_\text{hang} = 320~\mathrm{m/s}\)-mal számolunk? Mekkorának adódik a kút mélysége, ha \(\displaystyle g = 9{,}81~\mathrm{m}/\mathrm{s^2}\)-tel és \(\displaystyle v_\text{hang} = 340~\mathrm{m/s}\)-mal számolunk? (A közegellenállás hatását hanyagoljuk el.)

Közli: Honyek Gyula, Veresegyház

(4 pont)

A beküldési határidő 2022. április 19-én LEJÁRT.


Megoldás. Ha a kút mélysége \(\displaystyle h\), akkor a kő \(\displaystyle t_1=\sqrt{\frac{2h}{g}}\) idő alatt esik le a vízfelszínig, onnan pedig a hang \(\displaystyle t_2=\frac{h}{v_\text{hang}}\) idő alatt érkezik meg a fülünkig. A 4,25 s-os időkülönbséget \(\displaystyle T\)-vel jelölve fennáll, hogy

\(\displaystyle \sqrt{\frac{2h}{g}}+\frac{h}{v_\text{hang}}=T,\)

ami az \(\displaystyle x=\sqrt{h}\) mennyiségre nézve másodfokú egyenlet:

\(\displaystyle x^2+\left(\sqrt{\frac{2 }{g}}v_\text{hang}\right)\,x-v_\text{hang}T=0.\)

Amennyiben \(\displaystyle g = 10\) \(\displaystyle {\rm m}/{\rm s^2}\)-tel és \(\displaystyle v_\text{hang} = 320\) m/s-mal számolunk, az egyenlet (SI egységeket használva):

\(\displaystyle x^2+143{,}1\, x-1360=0,\)

amelynek pozitív gyöke: \(\displaystyle x=8{,}95\), vagyis \(\displaystyle h=80~\rm m\). Ennek megfelelően a kő 4,00 s alatt esik le a kút mélyébe, és a csobbanás hamgja 0,25 s alatt ér el a fülünkig.

Ha \(\displaystyle g = 9{,}81\) \(\displaystyle {\rm m}/{\rm s^2}\)-tel és \(\displaystyle v_\text{hang} = 340 \) m/s-mal számolunk, az egyenlet:

\(\displaystyle x^2+153{,}5\, x-1445=0,\)

amelynek pozitív gyöke: \(\displaystyle x=8{,}90\), vagyis \(\displaystyle h=79{,}2~\rm m\). Ennek megfelelően a kő 4,02 s alatt esik le a kút mélyébe, és a csobbanás hamgja 0,23 s alatt ér el a fülünkig.


Statisztika:

A P. 5391. feladat értékelése még nem fejeződött be.


A KöMaL 2022. márciusi fizika feladatai