Problem P. 5391. (March 2022)

P. 5391. A stone is dropped into a deep well. The sound of the splash is heard 4.25 s after the drop. How deep is the well if we carry out the calculation with \(\displaystyle g = 10~\mathrm{m}/\mathrm{s^2}\) and \(\displaystyle v_\text{sound} = 320~\mathrm{m/s}\)? What is the depth of the well if instead we use the values of \(\displaystyle g = 9.81~\mathrm{m}/\mathrm{s^2}\) and \(\displaystyle v_\text{sound} = 340~\mathrm{m/s}\)? (We neglect air resistance.)

(4 pont)

Deadline expired on April 19, 2022.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Ha a kút mélysége \(\displaystyle h\), akkor a kő \(\displaystyle t_1=\sqrt{\frac{2h}{g}}\) idő alatt esik le a vízfelszínig, onnan pedig a hang \(\displaystyle t_2=\frac{h}{v_\text{hang}}\) idő alatt érkezik meg a fülünkig. A 4,25 s-os időkülönbséget \(\displaystyle T\)-vel jelölve fennáll, hogy

\(\displaystyle \sqrt{\frac{2h}{g}}+\frac{h}{v_\text{hang}}=T,\)

ami az \(\displaystyle x=\sqrt{h}\) mennyiségre nézve másodfokú egyenlet:

\(\displaystyle x^2+\left(\sqrt{\frac{2 }{g}}v_\text{hang}\right)\,x-v_\text{hang}T=0.\)

Amennyiben \(\displaystyle g = 10\) \(\displaystyle {\rm m}/{\rm s^2}\)-tel és \(\displaystyle v_\text{hang} = 320\) m/s-mal számolunk, az egyenlet (SI egységeket használva):

\(\displaystyle x^2+143{,}1\, x-1360=0,\)

amelynek pozitív gyöke: \(\displaystyle x=8{,}95\), vagyis \(\displaystyle h=80~\rm m\). Ennek megfelelően a kő 4,00 s alatt esik le a kút mélyébe, és a csobbanás hamgja 0,25 s alatt ér el a fülünkig.

Ha \(\displaystyle g = 9{,}81\) \(\displaystyle {\rm m}/{\rm s^2}\)-tel és \(\displaystyle v_\text{hang} = 340 \) m/s-mal számolunk, az egyenlet:

\(\displaystyle x^2+153{,}5\, x-1445=0,\)

amelynek pozitív gyöke: \(\displaystyle x=8{,}90\), vagyis \(\displaystyle h=79{,}2~\rm m\). Ennek megfelelően a kő 4,02 s alatt esik le a kút mélyébe, és a csobbanás hamgja 0,23 s alatt ér el a fülünkig.

Statistics:

68 students sent a solution.
4 points:	Albert Máté, Antalóczy Szabolcs, Bacsó Dániel, Bálint Máté, Beke Bálint, Biebel Botond, Borsos Balázs, Brezina Gergely, Csonka Illés, Dóra Márton, Elekes Dorottya, Füles Ferenc, Gábriel Tamás, Hauber Henrik, Hegedűs Máté Miklós, Horváth 221 Zsóka, Josepovits Gábor, Juhász-Molnár Erik, Katona Attila Zoltán, Kertész Balázs, Kiss 625 Dóra, Kiss Ádám , Kovács Kinga, Kovács Kristóf , Kürti Gergely, Marozsi Lenke Sára, Mészáros Ádám, Molnár Kristóf, Mucsi Viktor, Nagy 456 Imre, Nemeskéri Dániel, Papp Marcell Imre, Pethő Dorottya, Sándor Dominik, Sass Ágota, Schmercz Blanka, Seprődi Barnabás Bendegúz, Tárnok Ede , Tatár Ágoston, Toronyi András, Vágó Botond, Varga Mária Krisztina, Veszprémi Rebeka Barbara, Vig Zsófia, Waldhauser Miklós.
3 points:	Kaltenecker Balázs Bence, Lipóczi Levente, Szabó Márton, Varga 451 Erik.
2 points:	6 students.
1 point:	3 students.
0 point:	3 students.
Unfair, not evaluated:	4 solutionss.

Problems in Physics of KöMaL, March 2022