Problem P. 5392. (March 2022)

P. 5392. A thin water jet ejected vertically out of the central nozzle of a fountain reaches a height of \(\displaystyle H\). The ``flow rate'' of the water jet, i.e. the volume of water flowing out per unit time is \(\displaystyle \Phi=\frac{\Delta V}{\Delta t}\). At what height \(\displaystyle h\) does a ball of mass \(\displaystyle m\) float when it is placed into the water jet? (We can assume that the total cross-section of the water jet reaches the ball, and that the water splashes off from the ball in horizontal direction.)

(5 pont)

Deadline expired on April 19, 2022.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A \(\displaystyle H\) magasságig eljutó vízsugár a csőből \(\displaystyle v_0=\sqrt{2gH}\) sebességgel áramlik ki. A víz sebessége \(\displaystyle h\) magasságban

\(\displaystyle v=\sqrt{v_0^2-2gh}=\sqrt{2g(H-h)}.\)

A labdát egy kicsiny \(\displaystyle \Delta t\) idő alatt \(\displaystyle \Delta V=\Phi\Delta t\) térfogatú, tehát \(\displaystyle \Delta m=\varrho\Phi\Delta t\) tömegű víz éri el (\(\displaystyle \varrho\) a víz sűrűsége), aminek a lendülete: \(\displaystyle I=v\Delta m=v\varrho\Phi\Delta t\). Ez a lendület a labdával történő ,,ütközés'' (szétspriccelés) után nulla lesz, vagyis az időegységre eső változása:

\(\displaystyle \frac{\Delta I}{\Delta t}= -v\varrho\Phi= -\varrho\Phi\sqrt{2g(H-h)}.\)

Ezt a lendületváltozást a kiszemelt ,,vízdarabkákra'' ható külső erő, \(\displaystyle -mg\) okozza. (A negatív előjel azt fejezi ki, hogy a labda lefelé, a lendülettel ellentétest irányban nyomja a vizet.) Newton törvénye szerint

\(\displaystyle \frac{\Delta I}{\Delta t}=-mg,\)

vagyis \(\displaystyle \varrho\Phi\sqrt{2g(H-h)}=mg\), azaz a keresett magasság:

\(\displaystyle h=H-\frac{m^2 g}{2\rho^2\Phi^2}.\)

Statistics:

31 students sent a solution.
5 points:	Beke Bálint, Bencz Benedek, Biebel Botond, Dóra Márton, Gábriel Tamás, Hauber Henrik, Juhász Júlia, Kertész Balázs, Kürti Gergely, Nemeskéri Dániel, Pethő Dorottya, Ramesh Dange, Schmercz Blanka, Seprődi Barnabás Bendegúz, Somlán Gellért, Téglás Panna, Toronyi András, Vágó Botond.
4 points:	Albert Máté, Csonka Illés, Ferencz Kamilla.
3 points:	1 student.
2 points:	3 students.
1 point:	2 students.
0 point:	1 student.
Unfair, not evaluated:	2 solutionss.

Problems in Physics of KöMaL, March 2022