Problem P. 5393. (March 2022)

P. 5393. Threads are attached to two small balls of masses \(\displaystyle m\) and \(\displaystyle M=3m\) such that the other ends of the threads are fixed at the same height, as it is shown in the figure on the left. The centres of the balls are then at a depth of \(\displaystyle L\) below the suspension. Then the ball with the smaller mass is raised such that the thread attached to it becomes horizontal (right figure), and then this ball is released. The two balls collide head-on and totally elastically.

\(\displaystyle a)\) Right before the collision what is the total force exerted on the suspension by the two threads?

\(\displaystyle b)\) What is this total force right after the collision?

\(\displaystyle c)\) Between the first and the second collisions of the balls what is the greatest angle enclosed by the two threads?

\(\displaystyle d)\) In the case of \(\displaystyle c)\) what is the direction and the magnitude of the total force exerted by the threads on the suspension?

\(\displaystyle e)\) What is the angle enclosed by the threads and the vertical when the second collision occurs?

(5 pont)

Deadline expired on April 19, 2022.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. \(\displaystyle a)\) Az energiamegmaradás törvénye szerint a kisebb golyó \(\displaystyle v=\sqrt{2gL}\) sebességgel mozog, a fonalat tehát a mozgásegyenlet szerint

\(\displaystyle N_1=mg+ma=mg+m\frac{v^2}{L}=3mg\)

erővel húzza. A másik, álló test által kifejtett erő

\(\displaystyle N_2=Mg=3mg.\)

A két fonál összesen \(\displaystyle 6mg\) nagyságú, függőlegesen lefelé ható erőt fejt ki a felfüggesztésre.

\(\displaystyle b)\) Az energia- és az impultusmegmaradás törvénye szerint az ütközés után a két golyó egymással ellentétes irányban,

\(\displaystyle v_1=\frac{v}{2}=\sqrt{\frac{gL}{2}} \)

nagyságú sebességgel kezd el mozogni. A fonalakat terhelő erők most:

\(\displaystyle N_1=mg+m\frac{v_1^2}{L}=\frac{3}{2}mg,\qquad \text{illetve} \qquad N_2=Mg+M\frac{v_1^2}{L}=\frac{3}{2}Mg=\frac{9}{2}mg.\)

A felfüggesztési pontot terhelő erő összesen

\(\displaystyle N_1+N_2=6mg,\)

éppen annyi, mint az ütközés előtt.

\(\displaystyle c)\) A \(\displaystyle v_1\) sebességgel elinduló testek a megállásukig \(\displaystyle h=\frac{v_1^2}{2g}=\frac{1}{4}L\) magasra emelkednek fel az ütközési pont magasságához viszonyítva. Mivel a két test kezdősebessége ugyanakkora, egyszerre állnak meg, és a fonaluknak a függőlegessel bezárt szöge

\(\displaystyle \varphi={\rm arccos}\,\frac{L-h}{L}={\rm arccos}\,\frac{3}{4}=41{,}4^\circ.\)

A két fonál által bezárt legnagyobb szög tehát \(\displaystyle 2\varphi=82{,}8^\circ\).

\(\displaystyle d)\) Amikor a testek pillanatnyi sebessége nulla, akkor a fonál irányú gyorsulásuk is nulla, tehát az egyes fonalakat

\(\displaystyle N_1=mg\cos\varphi=\frac{3}{4}mg, \qquad \text{illetve}\qquad N_2=Mg\cos\varphi=\frac{3}{4}Mg=\frac{9}{4}mg\)

nagyságú erő feszíti.

A felfüggesztésre ható eredő erő függőlegesen lefelé mutató komponense:

\(\displaystyle F_1=\left(N_1+N_2\right)\cos\varphi=\frac{9}{4}mg=2{,}25\ mg,\)

a vízszintes komponens pedig (ami a \(\displaystyle M\) tömegű golyó térfele irányába mutat)

\(\displaystyle F_2=\left(N_2-N_1\right)\sin\varphi=\frac{3 \sqrt{7}}{8}mg\approx 0{,}99\,mg.\)

Az eredő terhelés nagysága

\(\displaystyle F=\sqrt{F_1^2+F_2^2}=2{,}46\ mg,\)

iránya pedig

\(\displaystyle \alpha={\rm arctg}\,\frac{F_2}{F_1}=23{,}8^\circ\)

nagyságú szöget zár be a függőlegessel.

\(\displaystyle e)\) Mivel a fonálinga lengésideje nem függ a nehezék tömegétől, a második ütközés a fonalak függőleges, párhuzamos helyzeténél következik be.

Megjegyzés. A második ütközés után a golyók mozgása az előző mozgással egyezik meg, de ,,időben visszafelé''. A nagyobb tömegű golyó a második ütközés után megáll, a kisebb tömegű pedig \(\displaystyle v=\sqrt{2gL}\) sebességgel indul el, és egészen a fonál vízszintes helyzetéig lendül ki. (Mindez természetesen csak akkor igaz, ha az ütközések tökéletesen rugalmasak és a közegellenállás teljesen elhanyagolható.)

Statistics:

42 students sent a solution.
5 points:	Antalóczy Szabolcs, Beke Bálint, Bencz Benedek, Dóra Márton, Gábriel Tamás, Kertész Balázs, Kovács Kristóf , Molnár Kristóf, Nemeskéri Dániel, Papp Marcell Imre, Pethő Dorottya, Schmercz Blanka, Somlán Gellért, Szabó Márton, Téglás Panna, Toronyi András, Vágó Botond, Varga Mária Krisztina, Vig Zsófia, Waldhauser Miklós.
4 points:	Biebel Botond, Csonka Illés, Elekes Dorottya, Hauber Henrik, Hegedűs Máté Miklós, Kürti Gergely, Mészáros Ádám, Seprődi Barnabás Bendegúz.
3 points:	2 students.
2 points:	4 students.
1 point:	3 students.
0 point:	3 students.
Unfair, not evaluated:	1 solutions.

Problems in Physics of KöMaL, March 2022