Problem P. 5394. (March 2022)
P. 5394. The semi-major and semi-minor axes of an ellipse-shaped uniform-density plate of mass \(\displaystyle m\) are \(\displaystyle a\) and \(\displaystyle b\), respectively. What is the rotational inertia of the plate with respect to an axis which is perpendicular to the plane of the plate and goes through one end of the major axis of length \(\displaystyle 2a\)? (The problem can also be solved by elementary considerations not requiring higher mathematics.)
(5 pont)
Deadline expired on April 19, 2022.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. Helyezzük el az ellipszis alakú lemezt egy olyan koordináta-rendszerben, amelynek origója az ellipszis középpontja, \(\displaystyle x\) tengelye a nagytengely, \(\displaystyle y\) tengelye pedig az ellipszis kistengelye. Számítsuk ki a lemez tehetetlenségi nyomatékát a koordinátarendszer tengelyeire vonatkoztatva. A lemezt gondolatban nagyon kicsi, \(\displaystyle \Delta m_i\) tömegű, \(\displaystyle \left(x_i, y_i, 0\right)\) koordinátájú darabkákra osztva a tehetetlenségi nyomatékok definíciója szerint
\(\displaystyle \Theta_x=\sum \Delta m_i y_i^2,\)
\(\displaystyle \Theta_y=\sum \Delta m_i x_i^2,\)
és
\(\displaystyle \Theta_z=\sum \Delta m_i \left(x_i^2+y_i^2\right).\)
Ismert (táblázatban megtalálható adat), hogy egy \(\displaystyle m\) tömegű, \(\displaystyle R\) sugarú vékony, homogén körlemez tehetetlenségi nyomatéka a síkjára merőleges szimmetriatengelyre vonatkoztatva \(\displaystyle \Theta_z=\frac{1}{2}mR^2.\) Egy ilyen lemeznél a szimmetriája miatt fennáll, hogy
\(\displaystyle \Theta^\text{(kör)}_x=\Theta^\text{(kör)}_y=\frac{1}{2}\Theta^\text{(kör)}_z=\frac{1}{4}mR^2.\)
Nyújtsuk meg – gondolatban – a körlemezt az \(\displaystyle y\) tengely mentén \(\displaystyle b/R\) arányban, az \(\displaystyle x\) tengely mentén pedig \(\displaystyle a/R\) arányban, egyenletesen. Ekkor egy \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle b\) féltengelyű ellipszislemezt kapunk. Mivel \(\displaystyle \Theta_x\) kiszámításánál csak az \(\displaystyle y_i\) koordináták kapnak szerepet, és azok \(\displaystyle b/R\) arányban zsugorodtak össze, \(\displaystyle \Theta_y\) képletében pedig csak az \(\displaystyle x_i\) koordináták szerepelnek, azt kapjuk tehát, hogy
\(\displaystyle \Theta^\text{(ellipszis)}_x=\left( \frac{b}{R} \right)^2\Theta^\text{(kör)}_x=\frac{1}{4}mb^2,\)
és hasonlóan
\(\displaystyle \Theta^\text{(ellipszis)}_y=\left( \frac{a}{R} \right)^2\Theta^\text{(kör)}_y=\frac{1}{4}ma^2.\)
Ezek szerint az ellipszis alakú lemezre
\(\displaystyle \Theta^\text{(ellipszis)}_z=\Theta^\text{(ellipszis)}_x+\Theta^\text{(ellipszis)}_y=\frac{1}{4}m\left(a^2+b^2\right).\)
A feladatban szereplő tengelyre vonatkozó tehetetlenségi nyomatékot a Steiner-tétel alkalmazásával kapjuk:
\(\displaystyle \Theta=\Theta^\text{(ellipszis)}_z+ma^2=\frac{1}{4}m\left(5a^2+b^2\right).\)
Statistics:
10 students sent a solution. 5 points: Bencz Benedek, Gábriel Tamás, Kertész Balázs, Papp Marcell Imre, Schmercz Blanka, Somlán Gellért, Szabó Márton, Téglás Panna. 2 points: 1 student. 0 point: 1 student.
Problems in Physics of KöMaL, March 2022