Problem P. 5396. (March 2022)

P. 5396. A sample of diatomic ideal gas at a temperature \(\displaystyle T_0\) is enclosed in a vertical, thermally insulated container by an easily moveable and thermally insulated piston. The gas is slowly heated, thus its volume begins to increase. During heating, when the volume of the gas has just doubled, the piston in the cylinder got stuck in the rim which narrowed the cylinder. Determine the final temperature of the gas \(\displaystyle T\), if it is known that \(\displaystyle 80\%\) of the heat added to the gas was used to increase the internal energy.

(4 pont)

Deadline expired on April 19, 2022.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A dugattyú megakadásáig a gáz nyomása állandó (izobár folyamat). Ebben a folyamatban a hőmérséklet arányos a térfogattal, tehát a megduplázódott térfogathoz \(\displaystyle 2T_0\) hőmérséklet tartozik. A folyamat további részében a gáz térfogata állandó (izochór állapotváltozás).

Ha a végső hőmérséklet \(\displaystyle T\), a mólszám \(\displaystyle n\), akkor a belső energia teljes megváltozása

\(\displaystyle \Delta E=\frac{5}{2}nR\left(T-T_0\right),\)

a közölt hő pedig

\(\displaystyle Q=\frac{7}{2}nR T_0+ \frac{5}{2}nR \left(T-2T_0\right).\)

A megadott hatásfok szerint \(\displaystyle \Delta E=0{,}8\,Q,\) vagyis

\(\displaystyle \frac{4}{5} \left[7T_0+5\left(T-2T_0\right)\right]=5\left(T-T_0\right).\)

Ennek az egyenletnek \(\displaystyle T=\tfrac{13}{5}T_0\) a megoldása.

A számolás során felhasználtuk, hogy a kétatomos gázok molekuláinak szabadsági foka: \(\displaystyle f=5\), így az állandó térfogathoz tartozó moláris hőkapacitás (régi nevén mólhő): \(\displaystyle C_V=\tfrac{5}{2}R\), az állandó nyomáson pedig \(\displaystyle C_p=\tfrac{7}{2}R\) a moláris hőkapacitás.

Statistics:

44 students sent a solution.
4 points:	Bagu Bálint, Beke Bálint, Bencz Benedek, Bogdán Benedek, Csonka Illés, Gábriel Tamás, Hauber Henrik, Juhász-Molnár Erik, Kiss 625 Dóra, Kovács Kristóf , Mészáros Ádám, Molnár Kristóf, Nemeskéri Dániel, Pethő Dorottya, Somlán Gellért, Szabó Márton.
3 points:	Antalóczy Szabolcs, Biebel Botond, Elekes Dorottya, Füles Ferenc, Hegedűs Máté Miklós, Katona Attila Zoltán, Vágó Botond, Varga Mária Krisztina, Veszprémi Rebeka Barbara, Waldhauser Miklós.
1 point:	10 students.
0 point:	7 students.

Problems in Physics of KöMaL, March 2022