Problem P. 5397. (March 2022)

P. 5397. A small object of charge \(\displaystyle Q=10^{-9}\) C is fixed on an insulated stand, which is at a distance of \(\displaystyle d=10\) cm from a big grounded metal plate.

\(\displaystyle a)\) What is the surface charge density of the metal plate at its point \(\displaystyle P\), which is the closest to the small object?

\(\displaystyle b)\) What is the distance between \(\displaystyle P\) and that point of the plate at which the surface charge density of the plate is one-third of the maximum surface charge density value?

(4 pont)

Deadline expired on April 19, 2022.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. \(\displaystyle a)\) A \(\displaystyle Q\) töltés megosztást hoz létre a fémlemezben, és a kialakuló elektromos tér olyan lesz, mintha a lemez túlsó oldalán, ugyancsak \(\displaystyle d\) távolságban egy \(\displaystyle -Q\) töltésű kicsiny test helyezkedne el. A valódi töltés és a ,,tükörtöltés'' eredő elektromos tere a fémfelület határán merőleges lesz a lemezre, és a nagysága a \(\displaystyle P\) pontban:

\(\displaystyle E(P)=2\cdot \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0}\frac{1}{d^2}.\)

A fémlemez felületi töltéssűrűségének nagysága (a Gauss-féle fluxustörvény szerint)

\(\displaystyle \eta(P)=\varepsilon_0E(P)=\frac{Q}{2\pi d^2}.\)

(A felületi töltések előjele ellentétes \(\displaystyle Q\) előjelével, tehát negatív.)

\(\displaystyle b)\) A \(\displaystyle P\) ponttól \(\displaystyle x\) távolságban a lemeznél a \(\displaystyle Q\) töltéstől származó \(\displaystyle \boldsymbol E_1\) elektromos térerősség nagysága

\(\displaystyle E_1(x)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{Q}{d^2+x^2},\)

amelynek a felületre merőleges komponense:

\(\displaystyle E_\text{merőleges}(x)=\vert \boldsymbol E_1\vert\,\frac{d}{\sqrt{d^2+x^2}}= \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{d}{\left(d^2+x^2\right)^{3/2}}.\)

Az eredő (a töltéstől és a tükörtöltéstől származó) térerősség a lemeznél a \(\displaystyle P\) ponttól \(\displaystyle x\) távolságban

\(\displaystyle E(x)=2\cdot E_\text{merőleges}(x)=\frac{Q}{2\pi\varepsilon_0}\frac{d}{\left(d^2+x^2\right)^{3/2}},\)

a felületi töltéssűrűség nagysága pedig

\(\displaystyle \eta(x)=\varepsilon_0E(x)=\frac{1}{2\pi}\frac{d}{\left(d^2+x^2\right)^{3/2}}.\)

Az \(\displaystyle \eta(x)=\tfrac13\eta (P)\) feltétel akkor teljesül, ha

\(\displaystyle x=d\sqrt{3^{2/3}-1}=10{,}4~ \rm cm.\)

Statistics:

20 students sent a solution.
4 points:	Dóra Márton, Gábriel Tamás, Schmercz Blanka, Téglás Panna.
3 points:	Kovács Kinga, Somlán Gellért.
2 points:	1 student.
1 point:	4 students.
0 point:	9 students.

Problems in Physics of KöMaL, March 2022