Problem P. 5398. (March 2022)
P. 5398. A digital camera has an objective lens of focal length of 35 mm, and its near point is at a distance of 25 cm. The near point is that smallest distance from the sensor from which the objective can still focus.
\(\displaystyle a)\) How does the distance of the near point change if a ring is placed between the lens and the camera, such that the lens gets 12 mm further away from the sensor?
\(\displaystyle b)\) Take a picture of an object at the near point, with and without using the ring. What is the ratio of the sizes of the two images?
(5 pont)
Deadline expired on April 19, 2022.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. \(\displaystyle a)\) Tudjuk, hogy a közelpontban \(\displaystyle t+k=250\) mm, és ismerjük fókusztávolságot: \(\displaystyle f=35\) mm. A leképezési törvény szerint
\(\displaystyle \frac{1}{t}+\frac{1}{k}=\frac{1}{t},\)
ahonnan
\(\displaystyle t=\frac{kf}{k-f},\)
\(\displaystyle t+k=\frac{k^2}{k-f}=250~\rm mm,\)
vagyis (milliméter egységekkel számolva)
\(\displaystyle k^2-250\,k+250\cdot 35=0.\)
Ennek a másodfokú egyenletnek a gyökei (kerekítve): \(\displaystyle k_1=42~\rm mm\) és \(\displaystyle k_2=208~\rm mm\). A fényképezőgép esetében a \(\displaystyle k_1\) gyök az ,,életszerű''. Ezek szerint az objektívet legfeljebb 42 mm-re lehet eltávolítani a képet rögzítő szenzortól.
Megjegyzés. A másodfokú egyenlet másik gyöke egy olyan berendezésnek felel meg, amelynél az objektív és a szenzor legkisebb távolsága 208 mm lehet, és ennek megfelelően a tárgytávolság 35 mm és 42 mm között változhat. Ennek a furcsa eszköznek is 250 mm a ,,közelpontja'', de a berendezés – a megszokott értelemben – nem nevezhető fényképezőgépnek.
Egy \(\displaystyle d=12~\)mm vastag közgyűrű közbeiktatásával a legkisebb képtávolság \(\displaystyle k'=k+d=54~\)mm-re módosul. Az ehhez tartozó tárgytávolság
\(\displaystyle t'=\frac{k'f}{k'-f}=99~{\rm mm},\)
vagyis a közelpont távolsága \(\displaystyle t'+k'=153~{\rm mm}=15{,}3~\rm cm\)-re csökken.
\(\displaystyle b)\) A nagyítások:
\(\displaystyle N=\frac{k}{t}=\frac{f}{t-f}, \qquad \text{illetve}\qquad N'=\frac{k'}{t'}=\frac{f}{t'-f}.\)
A két nagyítás aránya:
\(\displaystyle \frac{N'}{N}= \frac{t-f}{t'-f}=\frac{208-35}{99-35}=2{,}7.\)
A közgyűrű behelyezése után tehát a közelpontba helyezett tárgy képe csaknem háromszorosára nő.
Statistics:
9 students sent a solution. 5 points: Gábriel Tamás, Kertész Balázs, Kürti Gergely, Téglás Panna, Toronyi András. 3 points: 2 students. 2 points: 1 student. 1 point: 1 student.
Problems in Physics of KöMaL, March 2022