Problem P. 5400. (April 2022)

P. 5400. One of the little prince's spherical planets is spinning so fast that the gravitational acceleration on its equator is zero. In which direction do the trees on the planet grow?

(4 pont)

Deadline expired on May 16, 2022.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Jelöljük a bolygó sugarát \(\displaystyle R\)-rel, forgási szögsebességét \(\displaystyle \omega\)-val. A bolygó egyenlítőjén akkor nulla a nehézségi gyorsulás, ha egy \(\displaystyle m\) tömegű testre ható gravitációs erő nagysága a bolygó felszínén \(\displaystyle F=mR\omega^2\).

1. ábra

Vizsgáljuk meg ezek után, hogy mekkora \(\displaystyle \boldsymbol G\) erővel tudunk egy \(\displaystyle m\) tömegű testet a forgásban lévő bolygóhoz képest nyugalomban tartani a bolygó \(\displaystyle \alpha\) szöggel jellemzett szélességi körénél (1. ábra). Ha ennek az erőnek a forgástengely irányú komponense \(\displaystyle G_1\), a forgástengelyre merőleges komponense pedig \(\displaystyle G_2\), akkor az \(\displaystyle m\) tömegű test mozgásegyenlete:

\(\displaystyle F\cos\alpha-G_2=m(R\cos\alpha)\,\omega^2,\)

illetve

\(\displaystyle F\sin\alpha-G_1=0.\)

\(\displaystyle F\) nagyságának ismeretében megállapíthatjuk, hogy

\(\displaystyle G_2\equiv 0, \qquad \text{illetve}\qquad G_1=mR\omega^2\,\sin\alpha.\)

A testre ható nehézségi erő \(\displaystyle -\boldsymbol G\), a \(\displaystyle \boldsymbol g=-\boldsymbol G/m\) vektor pedig nehézségi gyorsulás ezen a bolygón. A nehézségi gyorsulás komponensei:

\(\displaystyle g_1=-R\omega^2\,\sin\alpha \qquad \text{és} \qquad g_2=0.\)

Látjuk, hogy a nehézségi gyorsulás a bolygó forgástengelyével párhuzamos vektor, amelynek nagysága az egyenlítőtől távolodva egyre nagyobbá válik (2. ábra).

2. ábra

Feltételezve, hogy a fák ezen a bolygón is – a földi körülményekhez hasonlóan – a nehézségi erővel ellentétes irányban nőnek, valamennyi fa a bolygó forgástengelyével párhuzamosan, az egyenlítőtől távolodva növekedne.

Megjegyzések. 1. Az egyenlítő mentén – a súlytalanság állapotában – feltehetően egyáltalán nem nőnének fák.

2. Egy ilyen bolygónak nem lehetne légköre, hiszen azt a furcsa nehézségi erőtér az egyenlítőhöz húzná, és onnan könnyen ,,megszökhetne''. Hasonló sorsra jutna a bolygón az esetleg ott lévő víz is.

Statistics:

30 students sent a solution.
4 points:	Beke Bálint, Josepovits Gábor, Kovács Kristóf , Mészáros Ádám, Schmercz Blanka, Seprődi Barnabás Bendegúz, Toronyi András, Waldhauser Miklós.
2 points:	5 students.
1 point:	4 students.
0 point:	10 students.
Unfair, not evaluated:	3 solutionss.

Problems in Physics of KöMaL, April 2022