Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?

Problem P. 5401. (April 2022)

P. 5401. A small (considered point-like) but heavy body is held by two ropes having the same length and approximately the same working load limit. The upper ends of the ropes are slowly moved apart along a horizontal line. When the angle between the ropes becomes \(\displaystyle 2\alpha\), one of the ropes breaks and the body begins to swing as a pendulum about the fixed end of the other rope. What could the value of \(\displaystyle \alpha\) be if the other rope does not break during the motion?

(5 pont)

Deadline expired on May 16, 2022.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Jelöljük a fonalak hosszát \(\displaystyle \ell\)-lel, a szakítószilárdságukat \(\displaystyle K_0\)-lal, a test tömegét pedig \(\displaystyle m\)-mel. A fonál elszakadását megelőző pillanatban a fonalakat \(\displaystyle K_0\) erő feszíti, amelyek függőleges komponense tart egyensúlyt a test súlyával:

\(\displaystyle 2K_0\cos\alpha=mg, \qquad \text{vagyis}\qquad K_0=\frac{mg}{2\cos\alpha}.\)

Az \(\displaystyle \alpha\) szögben kitérített inga lengésbe kezd, és az inga fonalát függőleges helyzetében feszíti a legnagyobb erő. A test sebessége a legmélyebb helyzetben (az energiamegmaradás törvénye szerint)

\(\displaystyle v=\sqrt{2g\ell(1-\cos\alpha)},\)

vagyis a centripetális gyorsulás ekkor

\(\displaystyle a=\frac{v^2}{\ell}=2g(1-\cos\alpha).\)

A test mozgásegyenlete a pálya legalsó pontjánál:

\(\displaystyle K-mg=ma,\)

így a fonalat feszítő erő:

\(\displaystyle K=mg(3-2\cos\alpha).\)

A fonál akkor nem szakad el, ha \(\displaystyle K<K_0\), vagyis

\(\displaystyle 3-2\cos\alpha<\frac{1}{2\cos\alpha}.\)

Határesetben, amikor \(\displaystyle K =K_0\), vagyis a fonál éppen elszakadna, a következő (\(\displaystyle x=\cos\alpha\) ismeretlenre nézve másodfokú) egyenletet kapjuk:

\(\displaystyle x^2-\frac{3}{2}x+\frac{1}{4}=0.\)

Ennek gyökei:

\(\displaystyle x_1=\frac{3-\sqrt{5}}{4}\approx 0{,}19 \qquad \text{és}\qquad x_2=\frac{3+\sqrt{5}}{4}\approx 1{,}31.\)

A \(\displaystyle K<K_0\) feltétel akkor teljesül, ha \(\displaystyle x<x_1\), vagyis \(\displaystyle \alpha>79^\circ\). Ebben az esetben, vagyis ha a lassan széthúzott végű fonalak kb. \(\displaystyle 158^\circ\)-os szöget zártak be egymással az egyikük elszakadásakor, a további lengések során a másik fonál biztosan nem szakad el.


Statistics:

39 students sent a solution.
5 points:Beke Bálint, Bencz Benedek, Dóra Márton, Elekes Dorottya, Gábriel Tamás, Hauber Henrik, Kertész Balázs, Kovács Kinga, Kovács Kristóf , Kürti Gergely, Mészáros Ádám, Pethő Dorottya, Schmercz Blanka, Seprődi Barnabás Bendegúz, Somlán Gellért, Szabó Márton, Téglás Panna, Toronyi András, Vágó Botond, Vig Zsófia, Waldhauser Miklós.
4 points:Antalóczy Szabolcs, Hegedűs Máté Miklós, Molnár Kristóf, Nagy 456 Imre, Nemeskéri Dániel, Papp Marcell Imre, Veszprémi Rebeka Barbara.
3 points:2 students.
2 points:1 student.
1 point:1 student.
0 point:3 students.
Unfair, not evaluated:3 solutionss.

Problems in Physics of KöMaL, April 2022