Problem P. 5402. (April 2022)

P. 5402. A point-like weight \(\displaystyle m\) is attached to a thin ring of radius \(\displaystyle R\) and of negligible mass The ring moves out of its unstable equilibrium position shown in the figure, and it starts slipping on the ground when the displacement of its centre is just \(\displaystyle R\). What is the coefficient of friction between the ring and the horizontal ground?

(5 pont)

Deadline expired on May 16, 2022.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

I. megoldás. Az abroncsot és a pontszerű nehezéket tekinthetjük egyetlen merev testnek, amelynek tömegközéppontja a nehezéknél van, így a tömegközéppontra vonatkoztatott tehetetlenségi nyomatéka elhanyagolhatóan kicsi, nullának tekinthető. A megcsúszás pillanatában az abroncs középpontjának elmozdulása \(\displaystyle R\), az abroncs elfordulása tehát az ábrának megfelelően

\(\displaystyle \alpha=1\ \text{radián}=57{,}3^\circ.\)

1. ábra

A talajnál ható \(\displaystyle N\) nyomóerő és \(\displaystyle S\) súrlódási erő eredője a tömegközéppont, vagyis a nehezék irányába mutat, hiszen a rendszer tehetetlenségi nyomatéka erre a pontra vonatkoztatva nulla. Az ábráról leolvashatjuk, hogy a tapadási súrlódási együttható

\(\displaystyle \mu_0=\frac{S}{N}={\rm tg}\,\frac{\alpha}{2}\approx 0{,}55.\)

II. megoldás. Az \(\displaystyle \alpha=1\) radián szöggel elfordult helyzetben az abroncs és a hozzá erősített nehezék a \(\displaystyle P\) ponton átmenő, a szimmetriatengellyel párhuzamos egyenes (az ún. pillanatnyi forgástengely) körül fordul el, így a nehezék \(\displaystyle \boldsymbol v\) sebességvektora merőleges a \(\displaystyle PQ\) egyenesre.

2. ábra

Másrészt tudjuk, hogy a talaj által kifejtett \(\displaystyle \boldsymbol F\) erő (ami a karika közvetítésével a nehezékre ható kényszererővel egyezik meg) nem végez munkát, emiatt \(\displaystyle \boldsymbol F\) merőleges \(\displaystyle \boldsymbol v\)-re, vagyis \(\displaystyle PQ\) irányú. Fennáll tehát, hogy

\(\displaystyle \mu_0=\frac{S}{N}={\rm tg}\,\frac{\alpha}{2}\approx 0{,}55.\)

Statistics:

23 students sent a solution.
5 points:	Beke Bálint, Bencz Benedek, Dóra Márton, Kertész Balázs, Nemeskéri Dániel, Toronyi András.
4 points:	Somlán Gellért, Téglás Panna.
3 points:	5 students.
2 points:	3 students.
1 point:	2 students.
0 point:	4 students.
Unfair, not evaluated:	1 solutions.

Problems in Physics of KöMaL, April 2022