Problem P. 5404. (April 2022)

P. 5404. An ideal Carnot heat engine, with the help of heat reservoirs of temperatures \(\displaystyle T_1\) and \(\displaystyle T_2\) \(\displaystyle (T_2<T_1)\), can perform \(\displaystyle W\) work in each cycle (through isothermal and adiabatic processes). How will the efficiency of the heat engine change if the small friction between the piston in the working cylinder causes that \(\displaystyle 2q\) heat in each cycle is released (\(\displaystyle q\ll W)\), and this heat is absorbed evenly by the two heat reservoirs?

(5 pont)

Deadline expired on May 16, 2022.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A Carnot-gép hatásfoka

\(\displaystyle \eta_\text{Carnot}=\frac{W}{Q_1}=\frac{T_1-T_2}{T_1},\)

tehát a melegebb hőtartályból felvett hő

\(\displaystyle Q_1=\frac{T_1}{T_1-T_2}W.\)

Ha a gép – a dugattyú és a munkahenger közötti súrlódás miatt – veszteséges, akkor a hasznos munka \(\displaystyle W-2q\), a felvett hő pedig \(\displaystyle Q_1-q\) lesz. (A \(\displaystyle 2q\) hőnek a fele visszajut a melegebb hőtartályba.)

A veszteséges hőerőgép hatásfoka:

\(\displaystyle \eta=\frac{W-2q}{Q_1-q}=\frac{T_1-T_2}{T_1}\,\frac{1-2\frac{q}{W}}{1-\frac{T_1-T_2}{T_1}\,\frac{q}{W}}.\)

Használjuk most ki, hogy az \(\displaystyle \epsilon =q/W\) dimenziótlan arányszám 1-nél sokkal kisebb, ezért a négyzete \(\displaystyle \epsilon\) mellett elhanyagolható. Algebrai átalakítások után ezt kapjuk:

\(\displaystyle \frac{1-2\epsilon}{1-\frac{T_1-T_2}{T_1}\epsilon}= \frac{(1-2\epsilon) \left(1+\frac{T_1-T_2}{T_1}\epsilon\right)}{1-\left(\frac{T_1-T_2}{T_1}\epsilon\right)^2}\approx 1-\left(\frac{T_1+T_2}{T_1}\right)\,\epsilon. \)

Így végül a keresett hatásfok:

\(\displaystyle \eta=\frac{T_1-T_2}{T_1} - \frac{T_1^2-T_2^2}{T_1^2} \frac{q}{W}.\)

Statistics:

17 students sent a solution.
5 points:	Toronyi András.
3 points:	3 students.
2 points:	1 student.
1 point:	5 students.
0 point:	5 students.
Unfair, not evaluated:	2 solutionss.

Problems in Physics of KöMaL, April 2022