Problem P. 5405. (April 2022)
P. 5405. The sum of the currents through two resistors is \(\displaystyle I\). Prove that the total dissipated power in the two resistors is minimum if the voltages across the two resistors are equal.
(4 pont)
Deadline expired on May 16, 2022.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
I. megoldás. Legyen az \(\displaystyle R_1\) ellenálláson átfolyó áram erőssége \(\displaystyle I_1=x\), az \(\displaystyle R_2\) ellenálláson folyó áram erőssége pedig \(\displaystyle I_2=I-x\). A két ellenállásra jutó összteljesítmény (ami nyilván \(\displaystyle x\) függvénye):
\(\displaystyle P(x)=I_1^2R_1+I_2^2R_2=R_1x^2+R_2(I-x)^2=(R_1+R_2)x^2-2R_2I\,x+I^2R_2.\)
Ezt a kifejezést teljes négyzetté alakítva leolvashatjuk, hogy
\(\displaystyle P(x)=(R_1+R_2)\left(x-\frac{R_2 }{R_1+R_2 }I \right)^2+\frac{R_1R_2}{R_1+R_2}\,I^2 \)
akkor a legkisebb, amikor
\(\displaystyle x=I_1=\frac{R_2 }{R_1+R_2}I,\)
és ugyanekkor
\(\displaystyle I_2=I-I_1=\frac{R_1}{R_1+R_2}I.\)
Látható, hogy \(\displaystyle I_1R_1=I_2R_2\), vagyis az ellenállásokra eső feszültségek valóban megegyeznek.
Az összeteljesítmény legkisebb értéke:
\(\displaystyle P_\text{min}=\frac{R_1R_2}{R_1+R_2}\,I^2.\)
II. megoldás. Legyen \(\displaystyle I_1\sqrt{R_1} \equiv x_1\) és \(\displaystyle I_2\sqrt{R_2} \equiv x_2\). Az összteljesítmény ezekkel a változókkal:
| \(\displaystyle (1)\) | \(\displaystyle x_1^2+x_2^2=P,\) |
az áramok összegének állandósága pedig így írható fel:
| \(\displaystyle (2)\) | \(\displaystyle \frac{x_1}{\sqrt{R_1}}+\frac{x_2}{\sqrt{R_2}}=I.\) |
Az (1) összefüggés az \(\displaystyle (x_1,x_2)\) koordináta-rendszerben egy \(\displaystyle \sqrt P\) sugarú kör egyenlete, (2) pedig egy olyan egyenest határoz meg, aminek tengelymetszetei \(\displaystyle I\sqrt{R_1}\) és \(\displaystyle I\sqrt{R_2}\) (lásd az ábrát).
A legkisebb összteljesítmény annak a körnek felel meg, amelyiknek egyetlen közös pontja a (2) egyenessel, vagyis amelyik érinti az egyenest. Ebben az esetben \(\displaystyle OQ\) merőleges \(\displaystyle AB\)-re, és így az \(\displaystyle OCQ\) és \(\displaystyle BOA\) háromszögek hasonlóak. Ennek megfelelően fennáll
\(\displaystyle \frac{OC}{OD}=\frac{I_1\sqrt{R_1}}{I_2\sqrt{R_2}}=\frac{OB}{OA}=\frac{I\sqrt{R_2}}{I\sqrt{R_1}},\)
azaz
\(\displaystyle I_1R_1=I_2R_2,\)
tehát az ellenállásokra eső feszültségek megegyeznek.
Statistics:
34 students sent a solution. 4 points: Antalóczy Szabolcs, Beke Bálint, Csonka Illés, Gábriel Tamás, Hauber Henrik, Kovács Kinga, Kulcsár László, Kürti Gergely, Molnár Kristóf, Nemeskéri Dániel, Papp Marcell Imre, Schmercz Blanka, Somlán Gellért, Toronyi András, Varga 451 Erik, Vig Zsófia. 3 points: Albert Máté, Dóra Márton, Juhász Júlia. 2 points: 2 students. 1 point: 2 students. 0 point: 6 students. Unfair, not evaluated: 3 solutionss.
Problems in Physics of KöMaL, April 2022