Problem P. 5406. (April 2022)

P. 5406. What is the maximum potential difference that can be created with the help of two alike capacitors and a battery of electromotive force \(\displaystyle U\)? The capacitors can be rearranged and connected into a circuit again after they were charged.

(5 pont)

Deadline expired on May 16, 2022.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Mindkét \(\displaystyle C\) kapacitású kondenzátort (külön-külön) feltölthetjük \(\displaystyle U_1=U\) feszültségre, ekkor a lemezeikre \(\displaystyle \pm CU_1\) töltés kerül. Ha most az egyik kondenzátort azonos polaritással sorba kapcsoljuk a teleppel, és velük párhuzamosan kapcsoljuk (ugyancsak azonos polaritással) a másik kondenzátort, akkor ez utóbbi valamekkora \(\displaystyle U_2\) feszültségre töltődik, a másik kondenzátor feszültsége pedig \(\displaystyle U_2-U\) lesz. A töltésmegmaradás törvénye szerint

\(\displaystyle CU_1+CU_1=CU_2+C\left(U_2-U\right),\)

ahonnan

\(\displaystyle U_2=\frac{3}{2}U,\)

a másik kondenzátor feszültsége pedig \(\displaystyle \tfrac12U\) lesz.

Válasszuk le a kisebb töltésű kondenzátort az áramkörről, majd töltsük fel a telep segítségével \(\displaystyle U\) feszültségre és kapcsoljuk vissza az áramkörbe. A másik kondenzátor feszültsége valamekkora \(\displaystyle U_3\) értékre változik, amelyre ezt az egyenletet írhatjuk fel:

\(\displaystyle CU_3+C(U_3-U)=CU_2+CU,\)

ahonnan

\(\displaystyle U_3=\frac12U_2+U=\frac74U\)

adódik.

Ezeket a lépéseket sokszor egymás után megismételjük. Ha az \(\displaystyle n\)-edik lépésben a jobban feltöltött kondenzátor feszültsége \(\displaystyle U_n\), akkor a következőben

\(\displaystyle U_{n+1}=\frac{U_n}{2}+U.\)

Ebből a rekurziós formulából kiszámíthatjuk, hogy

\(\displaystyle U_4=\frac{15}{8}U,\qquad U_5=\frac{31}{16}U, \qquad U_6=\frac{63}{32}U,\qquad \cdots.\)

Ezek alapján sejthető, hogy a jobban feltöltött kondenzátor feszültsége egyre közelebb kerül \(\displaystyle 2U\)-hoz, jóllehet azt sohasem éri el. Valóban, ha \(\displaystyle U_n\) és \(\displaystyle 2U\) eltérését \(\displaystyle \Delta U_n\)-nel jelöljük, akkor a rekurziós formula így írható fel:

\(\displaystyle \Delta U_{n+1}=\frac{1}{2}\Delta U_n.\)

Vagyis \(\displaystyle \Delta U_1=U\) figyelembe vételével ezt kapjuk:

\(\displaystyle \Delta U_{n+1}=\frac{1}{2^n}U \rightarrow 0. \)

A leírtak szerint az elérhető legnagyobb potenciálkülönbség majdnem \(\displaystyle 4U\), amit a csaknem \(\displaystyle 2U\) feszültségre feltöltött kondenzátor, az \(\displaystyle U\) feszültségű másik kondenzátor és a telep soros kapcsolásával hozhatunk létre.

Statistics:

8 students sent a solution.
5 points:	Bencz Benedek.
1 point:	6 students.

Problems in Physics of KöMaL, April 2022