Problem P. 5407. (April 2022)
P. 5407. Protons initially considered stationary in a linear accelerator at CERN are accelerated along a path of \(\displaystyle L=30.0\) m through a voltage of \(\displaystyle U=500\) MV. The electric field in the accelerator can be considered uniform. How long does it take for the protons to travel the distance \(\displaystyle L\)?
(5 pont)
Deadline expired on May 16, 2022.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. A proton nyugalmi energiáját célszerű a részecskefizikában használatos GeV (gigaelektronvolt) egységben megadni:
\(\displaystyle E_0=mc^2=0{,}938~\text{GeV}.\)
A proton energiája \(\displaystyle U=0{,}5~\rm GV\)-os gyorsítófeszültség hatására \(\displaystyle eU=0{,}5~\rm GeV\) értékkel növekszik, tehát \(\displaystyle E=1{,}438\) GeV nagyságú lesz.
A részecskék relativisztikus impulzusa (lendülete) az
\(\displaystyle E^2=(pc)^2+(mc^2)^2 \)
összefüggés alapján számítható ki. Esetünkben, a felgyorsított protonoknál
\(\displaystyle p_\text{max}=\frac{1}{c}\sqrt{E^2-(mc^2)^2}\approx \frac{1{,}090~\rm GeV}{c}.\)
A Newton-törvény relativisztikus megfelelője (a relativisztikus mozgásegyenlet) szerint a részecskére ható erő az időegységre eső impulzusváltozással egyenlő. Esetünkben (homogén elektromos mezőben mozgó protonra)
\(\displaystyle \frac{\Delta p}{\Delta t}=e\frac{U}{L}=\text{állandó},\)
vagyis
\(\displaystyle p(t)= \frac{eU}{L}t.\)
Ismerjük a felgyorsított proton maximális impulzusát, ebből a repülés idejét is könnyen megkaphatjuk:
\(\displaystyle T=\frac{p_\text{max}L}{eU}=\frac{1{,}090~{\rm GeV}\cdot 30~{\rm m}}{(0{,}5~{\rm GeV})\,(3\cdot 10^8~{\rm m/s}) } =218~ \rm ns.\)
Statistics:
25 students sent a solution. 5 points: Bencz Benedek, Gábriel Tamás, Hauber Henrik, Kürti Gergely, Téglás Panna, Toronyi András. 4 points: Nemeskéri Dániel, Schmercz Blanka. 3 points: 5 students. 2 points: 4 students. 1 point: 1 student. 0 point: 4 students. Unfair, not evaluated: 2 solutionss.
Problems in Physics of KöMaL, April 2022