Problem P. 5408. (April 2022)
P. 5408. A simple pendulum is attached to the top of a rod mounted to a trolley of mass \(\displaystyle M=3m\). The trolley is on a horizontal surface. The length of the thread of the pendulum is \(\displaystyle L=50\) cm, and the mass of the point-like bob at its end is \(\displaystyle m=0.15\) kg. Initially the objects are at rest. Then the pendulum bob is displaced such that its thread is tight and horizontal, and then released without initial speed. Friction is negligible everywhere.
\(\displaystyle a)\) What is the speed of the trolley, when the angle between the thread and the vertical is \(\displaystyle \alpha = 60^\circ\)?
\(\displaystyle b)\) What is the tension in the thread at this position?
(6 pont)
Deadline expired on May 16, 2022.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. \(\displaystyle a)\) Legyen az \(\displaystyle m\) tömegű golyó talajhoz viszonyított sebességének vízszintes komponense a kérdéses pillanatban \(\displaystyle v_1\), függőleges komponense pedig \(\displaystyle v_2\) (1. ábra). Haladjon ugyanekkor a kocsi \(\displaystyle u\) sebességgel.
1. ábra
A rendszerre nem hat vízszintes irányú külső erő, ezért a vízszintes irányú lendület mindvégig nulla marad. Eszerint
| \(\displaystyle (1)\) | \(\displaystyle 3mu=mv_1, \qquad \text{azaz}\qquad v_1=3u.\) |
A mechanikai energia megmaradásásak törvénye szerint
\(\displaystyle mgL\cos\alpha=\frac12 m\left(v_1^2+v_2^2\right)+\frac12\,(3m)\,u^2,\)
vagyis (1) felhasználásával
| \(\displaystyle (2)\) | \(\displaystyle gL=v_2^2+12 u^2.\) |
Az \(\displaystyle m\) tömegű golyó az \(\displaystyle u\) sebességgel mozgó kiskocsihoz képest körpályán mozog. A fonál hosszának állandóságát kifejező kényszerfeltétel miatt:
\(\displaystyle \frac{v_2}{v_1+u}=\frac{v_2}{4u}={\rm tg}\,\alpha=\sqrt{3},\)
vagyis
| \(\displaystyle (3)\) | \(\displaystyle v_2=4\sqrt{3}\,u.\) |
Ezt (2)-be helyettesítve kapjuk, hogy a kiskocsi sebessége
\(\displaystyle u=\sqrt{\frac{gL}{60}}=0{,}28\ \frac{\rm m}{\rm s}.\)
\(\displaystyle b)\) Legyen a fonalat feszítő erő \(\displaystyle K\), a kiskocsi gyorsulása pedig \(\displaystyle a\) (2. ábra). A kiskocsi mozgásegyenlete:
\(\displaystyle K\sin\alpha=Ma=3m\,a,\qquad \text{vagyis}\qquad ma=\frac{1}{3}K\sin\alpha. \)
2. ábra
A golyónak a kiskocsihoz viszonyított sebessége az energiatétel szerint (az első rész megoldásánál használt jelöléseket követve):
\(\displaystyle v_\text{rel}=\sqrt{(u+v_1)^2+v_2^2}=\sqrt{(4u)^2+\left(4\sqrt{3}u\right)^2}=8u=\sqrt{\frac{16}{15}\,gL}.\)
Ezen relatív sebesség miatt a golyónak
\(\displaystyle a_\text{cp}=\frac{v_\text{rel}^2}{L}= \frac{16}{15}\,g\)
nagyságú, fonál irányú centripetális gyorsulása van. Ehhez járul még a kiskocsi \(\displaystyle a\) nagyságú, vízszintes irányú gyorsulásának fonál irányú komponense, ami \(\displaystyle -a\sin\alpha\). A fonál irányú mozgásegyenlet:
\(\displaystyle K-mg\cos\alpha=m\left(a_\text{cp}-a\sin\alpha\right),\)
amiből az \(\displaystyle a\)-ra és \(\displaystyle a_\text{cp}\)-ra vonatkozó összefüggések behelyettesítése után megkapjuk a fonalat feszítő erőt:
\(\displaystyle K=\frac{mg\cos\alpha+\frac{16}{15}\,mg}{1+\frac{1}{3}\sin^2\alpha}=\frac{94}{75}\,mg=1{,}84\ \rm N.\)
Statistics:
22 students sent a solution. 6 points: Bencz Benedek, Dóra Márton, Gábriel Tamás, Kürti Gergely, Molnár Kristóf, Somlán Gellért, Toronyi András. 5 points: Horváth 221 Zsóka, Kertész Balázs, Nagy 456 Imre. 4 points: 5 students. 3 points: 2 students. 2 points: 1 student. 0 point: 2 students. Unfair, not evaluated: 1 solutions.
Problems in Physics of KöMaL, April 2022