Problem P. 5409. (May 2022)

P. 5409. The figure shows a whole range of simple machines. Friction and the masses of pulleys and levels are negligible. What are the values of the tension in the threads?

(4 pont)

Deadline expired on June 15, 2022.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A rendszer nyugalomban van (lásd a G. 784. gyakorlat megoldását), így valamennyi része külön-külön is egyensúlyban van.

Jelöljük a hengerkerék és az ék közötti fonalat feszítő erőt \(\displaystyle F\)-fel! Az ék által a felette lévő testre kifejtett erő függőleges komponense \(\displaystyle 5F\), az a test tehát \(\displaystyle 5F-mg\) erővel nyomja felfelé a kétoldalú emelő hosszabb karjának végét. (Jóllehet ez a nyomtatásban megjelent ábrán nem látszik, de feltételezzük, hogy az ék feletti test csak függőleges irányban tud elmozdulni.) Az emelő másik karja \(\displaystyle 3(5F-mg)\) erővel húzza lefelé az állócsigán átvetett fonalat. A mozgócsiga akkor van egyensúlyban, ha a tengelyéhez kapcsolódó fonalat \(\displaystyle 6(5F-mg)\) erő feszíti. Így az egykarú emelő végén lévő fonálban ébredő erő \(\displaystyle \tfrac32(5F-mg)\). A legalsó testet tartó fonalat feszítő erő nyilván \(\displaystyle mg\).

Egyensúlyban a hengerkerékre ható forgatónyomatékok előjeles összege nulla:

\(\displaystyle F\cdot r_1-2mg\cdot r_2+\frac32(5F-mg)\cdot r_3=0,\)

vagyis (a sugarak megadott arányának megfelelően)

\(\displaystyle F-2mg+\frac92(5F-mg)=0,\qquad \Rightarrow\qquad F=\frac{13}{47}\,mg=13~\rm N.\)

A csigákon átvetett fonalat \(\displaystyle 3(5F-mg)=54~\rm N\), a mozgócsiga tengelyéhez csatlakozó fonalat \(\displaystyle 6(5F-mg)=108~\rm N\), a hengerkerék legnagyobb tárcsájára tekert fonalat \(\displaystyle \tfrac32(5F-mg)=27~\rm N\) erő feszíti.

Megjegyzés. Ugyanerre az eredményre juthatunk úgy is, ha a hengerkerék és az egyoldalú emelő közötti fonálban ható erőt nevezzük el (mondjuk \(\displaystyle K\)-nak), és ezután vizsgáljuk végig a rendszer egyensúlyát lépésről lépésre, a fenti megoldáshoz képest ellenkező irányban.

Statistics:

9 students sent a solution.
4 points:	Seprődi Barnabás Bendegúz, Toronyi András, Vig Zsófia.
2 points:	2 students.
1 point:	2 students.
0 point:	1 student.

Problems in Physics of KöMaL, May 2022