Problem P. 5414. (May 2022)

P. 5414. We formed a circle of radius \(\displaystyle R\) from a piece of metal wire and from the same wire we made one of the diameters of the circle as well. What should the length of the arcs \(\displaystyle AB = AC\) be in order that the equivalent resistance between points \(\displaystyle A\) and \(\displaystyle B\) be the same as the equivalent resistance between points \(\displaystyle B\) and \(\displaystyle C\)?

(4 pont)

Deadline expired on June 15, 2022.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Legyen az \(\displaystyle AB\) és az \(\displaystyle AC\) ívek hossza \(\displaystyle xR\), vagyis a kör sugarának \(\displaystyle x\)-szerese. Az egyes drótdarabok ellenállása a hosszukkal arányos. Válasszunk olyan mértékegységrendszert, amelyben az \(\displaystyle AD\) átmérő menti drót ellenállása 2 egység, és ennek megfelelően az \(\displaystyle AB\) és \(\displaystyle AC\) drótívek ellenállása \(\displaystyle x\), a \(\displaystyle BD\) és \(\displaystyle CD\) ívek ellenállása pedig \(\displaystyle \pi-x\) lesz, ahogy azt az ábra mutatja. (Az ábrán látható számok nem hosszúságokat, hanem a megfelelő drótdarab ellenállását jelölik.) Az \(\displaystyle AB\) és a \(\displaystyle BC\) pontok között mérhető ellenállások aránya nem függ az ellenállás önkényesen választott mértékegységétől, tehát ezek az új egységekkel számolva is egyenlő nagyságúak maradnak.

Ha a \(\displaystyle B\) és a \(\displaystyle C\) pont között mérünk ellenállást, a szimmetria miatt az \(\displaystyle A\) és a \(\displaystyle D\) pontok ekvipotenciálisak lesznek, és emiatt a közöttük lévő egyenes drótdarabot kiiktathatjuk. A mért ellenállás egy \(\displaystyle 2x\) nagyságú és egy \(\displaystyle 2(\pi-x)\) nagyságú, párhuzamosan kapcsolt ellenállás eredője lesz:

\(\displaystyle R_{BC}=\left(\frac{1}{2x}+\frac{1}{2(\pi-x)}\right)^{-1}.\)

Bonyolultabb a helyzet az \(\displaystyle A\) és \(\displaystyle B\) pontok közötti ellenállás kiszámításánál. Az \(\displaystyle A\) és a \(\displaystyle D\) pont közötti egyenes, illetve félkör alakú vezeték párhuzamos eredője:

\(\displaystyle \left(\frac{1}{2}+\frac{1}{\pi}\right)^{-1}=\frac{2\pi}{2+\pi}.\)

Ehhez csatlakozik sorosan kapcsolva a \(\displaystyle BD\) ív \(\displaystyle \pi-x\) nagyságú ellenállása, majd párhuzamosan az \(\displaystyle AB\) ív \(\displaystyle x\) nagyságú ellenállása. Így tehát

\(\displaystyle R_{AB}= \left(\frac{1}{\pi-x+\frac{2\pi}{2+\pi}}+\frac{1}{x}\right)^{-1}.\)

Az \(\displaystyle R_{BC}=R_{AB}\) feltétel szerint fennáll az

\(\displaystyle \frac{1}{2x}+\frac{1}{2(\pi-x)}=\frac{1}{\pi-x+\frac{2\pi}{2+\pi}}+\frac{1}{x}\)

összefüggés, amiből algebrai átalakítások után a

\(\displaystyle (6+\pi)x=\pi(4+\pi)\)

lineáris egyenletet kapjuk. Ennek megoldása:

\(\displaystyle x=\frac{4+\pi}{6+\pi}\pi \approx 2{,}45.\)

Ezek szerint az \(\displaystyle AB\) és az \(\displaystyle AC\) ívek hossza

\(\displaystyle \frac{\pi(4+\pi)}{6+\pi}R \approx 2{,}45\,R.\)

Statistics:

23 students sent a solution.
4 points:	Csonka Illés, Gábriel Tamás, Hauber Henrik, Horváth 221 Zsóka, Kovács Kinga, Molnár Kristóf, Pethő Dorottya, Schmercz Blanka, Somlán Gellért, Téglás Panna, Veszprémi Rebeka Barbara, Vig Zsófia.
3 points:	Bogdán Benedek, Dóra Márton, Hegedűs Máté Miklós, Szabó Márton, Tárnok Ede , Toronyi András.
2 points:	3 students.
1 point:	1 student.

Problems in Physics of KöMaL, May 2022