Problem P. 5416. (May 2022)
P. 5416. There are five electrons in a region of length 1.1 nm with respect to which the width and thickness of the region is negligibly small. The potential energy in this region is zero, and outside it is very big. We can neglect the interaction of the electrons with each other.
\(\displaystyle a)\) What is the minimum energy required to excite the electrons in the system?
\(\displaystyle b)\) What is the wavelength of the electromagnetic wave that can produce this excitation? Where is this electromagnetic wave in the spectrum?
(5 pont)
Deadline expired on June 15, 2022.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. Az \(\displaystyle L=1{,}1~\rm nm\) hosszúságú egyenes mentén mozgó elektronok anyaghullámai olyan állóhullámok, amelyeknek az egyenes szakasz végpontjainál csomópontja van. Ennek megfelelően a hullámok hullámhossza
\(\displaystyle (k+1) \frac{\lambda_k}{2}=L,\qquad \text{vagyis}\qquad \lambda_k=\frac{2L}{k+1}\qquad (k=0,1,2,\ldots),\)
ahol \(\displaystyle k\) az anyaghullám csomópontjainak száma. A de Broglie-összefüggés szerint az ilyen elektronok impulzusa
\(\displaystyle p_k=\frac{h}{\lambda_{k}}=\frac{h}{2L}(k+1),\)
a lehetséges (kvantált) energiája pedig
\(\displaystyle E_k=\frac{p_k^2}{2m}=\frac{h^2}{8mL^2}\,(k+1)^2. \)
(\(\displaystyle m\) az elektron tömege, \(\displaystyle h\) pedig a Planck-állandó.) Az ismert adatok behelyettesítése után kapjuk, hogy a legalacsonyabb energiaszint:
\(\displaystyle E_0=5{,}0\cdot 10^{-20}~{\rm J}\approx 0{,}05~{\rm aJ},\)
a gerjesztett állapotok energiája pedig
\(\displaystyle E_1=4E_0=0{,}20~{\rm aJ}, \qquad E_2=9E_0=0{,}45~{\rm aJ},~\ldots\)
A Pauli-elv szerint minden energiaszinten legfeljebb 2 elektron tartózkodhat. Ennek megfelelően az 5 elektron közül 2 alapállapotban, 2 első gerjesztett állapotban, 1 elektron pedig a második gerjesztett állapotban van.
\(\displaystyle a)\) A legkisebb energia, amivel gerjeszteni lehet ezt a rendszert \(\displaystyle \Delta E=5E_0=0{,}25~\rm aJ\), hiszen az egyik \(\displaystyle E_1=4E_0\) energiájú elektron átkerülhet az \(\displaystyle E_2=9E_0\) energiaszintre.
\(\displaystyle b)\) A \(\displaystyle \Delta E\) energiájú gerjesztést egy
\(\displaystyle f=\frac{\Delta E}{h}= 3{,}75\cdot10^{14}~\rm Hz\)
frekvenciájú foton képes létrehozni. Ennek a fotonnak a hullámhossza
\(\displaystyle \lambda_{\rm foton}=\frac{c}{f}=0{,}8\cdot 10^{-6}~{\rm m}=800~ \rm nm,\)
ami a közeli infravörös tartományba esik.
Statistics:
9 students sent a solution. 5 points: Beke Bálint, Bencz Benedek, Kertész Balázs, Papp Marcell Imre, Téglás Panna. 4 points: Dóra Márton, Hauber Henrik, Nemeskéri Dániel, Toronyi András.
Problems in Physics of KöMaL, May 2022