Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A P. 5429. feladat (2022. október)

P. 5429. Egy elektromos autó álló helyzetből indulva 10 s alatt egyenletes gyorsulással 108 km/h sebességet ér el. Kerekeinek sugara 0,4 m, a keréktárcsán található egy 0,2 m sugarú díszítőgyűrű. Az indulástól számítva mennyi idő múlva lesz ennek a vékony gyűrűnek olyan pontja, amely nem gyorsul? Mekkora ebben a pillanatban az autó sebessége?

Közli: Gnädig Péter, Vácduka

(5 pont)

A beküldési határidő 2022. november 15-én LEJÁRT.


Megoldás. Az autó állandó gyorsulása

\(\displaystyle a_0=\frac{108~\rm km/h}{10~\rm s}=\frac{30~\rm m/s}{10~\rm s}=3~\frac{\rm m}{\rm s^2}.\)

Az autó sebessége időben \(\displaystyle v(t)=a_0t\) módon növekszik, az \(\displaystyle R=0{,}4~\rm m\) sugarú kerekek szögsebessége tehát időben így változik:

\(\displaystyle \omega(t)=\frac{v(t)}{R}=\frac{a_0t}{R},\)

a szöggyorsulása pedig időben állandó, nagysága

\(\displaystyle \beta=\frac{\Delta\omega}{\Delta t}=\frac{a_0}{R}.\)

A díszítő gyűrű valamely \(\displaystyle P\) pontjának gyorsulása három gyorsulásvektor összegeként kapható meg. Ezek (lásd az ábrát):

(\(\displaystyle i\)) Az egész autó haladó (transzlációs) mozgásának megfelelő, vízszintes irányú, \(\displaystyle a_0\) nagyságú vektor.

\(\displaystyle (ii)\) A \(\displaystyle P\) pontnak a kerék \(\displaystyle O\) tengelye körüli forgásból származó ,,kerületi gyorsulás'' vektor, amelynek nagysága (mivel az \(\displaystyle OP\) távolság a feladat szövege szerint \(\displaystyle R/2\)):

\(\displaystyle a_1=\frac{R}2 \beta=\frac12 a_0.\)

Ez a gyorsulás ,,érintő irányú'', vagyis az \(\displaystyle OP\) egyenesre merőleges, és a kerék forgásának megfelelő (előre) irányba mutat.

\(\displaystyle (iii)\) A kerék \(\displaystyle P\) pontjának centripetális gyorsulása, amely \(\displaystyle P\)-től \(\displaystyle O\) felé mutató vektor, nagysága:

\(\displaystyle a_2=\frac{R}2\omega(t)^2=\frac{a_0^2t^2}{2R}.\)

Könnyen belátható, hogy a felsorolt három gyorsulásvektor összege csak akkor lehet nulla, ha a \(\displaystyle P\) pont a (mondjuk) jobbra haladó autó diszgyűrűjének jobb alsó negyedében található, vagyis az ábrán jelölt \(\displaystyle \varphi\) szög \(\displaystyle 90^\circ\)-nál kisebb.

A \(\displaystyle PQT\) derékszögű háromszög átfogója kétszer hosszabb, mint a \(\displaystyle P\)-beli érintővel párhuzamos befogó. Innen következik, hogy \(\displaystyle \varphi=30^\circ\), továbbá

\(\displaystyle a_2=\frac{\sqrt3}2a_0,\)

vagyis

\(\displaystyle \frac{a_0^2t^2}{2R}=\frac{\sqrt3}2a_0,\)

ahonnan a kérdéses idő:

\(\displaystyle t=\sqrt{\frac{\sqrt3R}{a_0}}\approx 0{,}48~\rm s.\)

Az autó sebessége ekkor

\(\displaystyle v=a_0t=1{,}44~\frac {\rm m}{\rm s}.\)


Statisztika:

54 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:Beke Bálint, Bencz Benedek, Bocor Gergely, Csiszár András, Fehérvári Donát, Kis Márton Tamás, Klement Tamás, Kollmann Áron Alfréd, Kovács Kristóf , Márfai Dóra, Masa Barnabás, Merics Vilmos, Mészáros Ádám, Nagy 456 Imre, Nemeskéri Dániel, Sipeki Árpád, Szatmári András Gábor, Tóth Kolos Barnabás, Vágó Botond, Waldhauser Miklós, Wodala Gréta Klára.
4 pontot kapott:Arnold Lőrinc, Benes András, Elekes Dorottya, Fajszi Karsa, Flóring Balázs, Görcsös Ákos Attila, Hetényi Klára Tímea, Osváth Emese, Papp Marcell Imre, Szabó Márton, Tárnok Ede .
3 pontot kapott:2 versenyző.
2 pontot kapott:8 versenyző.
1 pontot kapott:8 versenyző.

A KöMaL 2022. októberi fizika feladatai