Problem P. 5446. (December 2022)
P. 5446. Two students prepare for a stunt. At the same moment they both kick a football, that are at a certain distance \(\displaystyle d\) apart on a sports field, so that the balls meet in the air. One student kicks the ball at \(\displaystyle v_1=20\) m/s and the other at \(\displaystyle v_2=10\) m/s, but they can both decide on the direction of the initial velocity. What is the maximum initial distance \(\displaystyle d_{\max}\) between the two balls for the stunt to succeed?
(Air drag is negligible.)
(5 pont)
Deadline expired on January 16, 2023.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. Ha a labdák kezdeti \(\displaystyle d\) távolsága a lehető legnagyobb, akkor a mutatvány még éppen sikerülhet, azaz a labdák közvetlenül a földet érés pillanata előtt találkoznak. A labdák azonos időt töltenek a levegőben, ezért a kezdeti sebességük függőleges komponense is megegyezik:
| \(\displaystyle (1)\) | \(\displaystyle v_{1y}=v_{2y}.\) |
A mozgás ideje a ferde hajítás képletei szerint
| \(\displaystyle (2)\) | \(\displaystyle t=\frac{2v_{1y}}{g}.\) |
Ennek ismeretében a labdák kezdeti távolsága is kifejezhető a kezdősebességek vektoraival:
| \(\displaystyle (3) \) | \(\displaystyle d=\vert\boldsymbol{v}_1-\boldsymbol{v}_2\vert t,\) |
hiszen \(\displaystyle (1)\) miatt a \(\displaystyle (\boldsymbol{v}_1-\boldsymbol{v}_2)\) vektor vízszintes. A \(\displaystyle (2)\) és \(\displaystyle (3)\) egyenletekből:
\(\displaystyle d=\frac{2v_{1y}\vert\boldsymbol{v}_1-\boldsymbol{v}_2\vert}{g}\,.\)
A számlálóban álló kifejezés nem más, mint a \(\displaystyle \boldsymbol{v}_1\) és \(\displaystyle \boldsymbol{v}_2\) vektorok által kifeszített paralelogramma területének kétszerese. Könnyen belátható, hogy ez (és ezzel együtt a \(\displaystyle d\) távolság is) akkor maximális, ha a rögzített nagyságú \(\displaystyle \boldsymbol{v}_1\) és \(\displaystyle \boldsymbol{v}_2\) vektorok egymásra merőlegesek. Ekkor a vektor-paralelogramma egy \(\displaystyle v_1v_2\) területű téglalap, azaz
\(\displaystyle d_{\textrm{max}}=\frac{2v_1v_2}{g}\approx 41~\rm m.\)
Statistics:
53 students sent a solution. 5 points: Beke Bálint, Beke Botond, Bencz Benedek, Bocor Gergely, Csiszár András, Elekes Dorottya, Flóring Balázs, Halász Henrik, Kaszonyi Márk, Kis Márton Tamás, Klement Tamás, Kovács Barnabás, Kovács Kristóf , Merics Vilmos, Nemeskéri Dániel, Osváth Emese, Richlik Márton, Schmercz Blanka, Seprődi Barnabás Bendegúz, Sipeki Árpád, Waldhauser Miklós. 4 points: Bodré Zalán, Chrobák Gergő, Csilling Dániel, Kiss 987 Barnabás, Masa Barnabás, Nagy 456 Imre, Papp Marcell Imre, Szécsényi-Nagy Rudolf, Tárnok Ede , Tomesz László Gergő, Vincze Farkas Csongor. 3 points: 2 students. 2 points: 3 students. 1 point: 3 students. 0 point: 9 students. Unfair, not evaluated: 2 solutionss.
Problems in Physics of KöMaL, December 2022