Problem P. 5447. (December 2022)

P. 5447. Three identical cylinders of radius 5 cm are made of ice and they are released without initial speed from the position shown in the figure. Friction is negligible everywhere.

What is the acceleration at which the ice cylinders start moving?

(5 pont)

Deadline expired on January 16, 2023.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Tekintsük azt a helyzetet, amikor az alsó két jéghenger már egy nagyon kicsit eltávolodott egymástól, és használjuk az ábra jelöléseit.

A felső henger \(\displaystyle A\) tengelye éppen akkora gyorsulással mozog a másik henger \(\displaystyle B\) tengelye felé, amennyivel \(\displaystyle B\) távolodik \(\displaystyle A\)-tól, hiszen a közöttük lévő távolság állandó. Ezek szerint

\(\displaystyle a_1\cos\beta=a_2\cos\alpha.\)

Mivel az indulás pillanatában \(\displaystyle \alpha=60^\circ\) és \(\displaystyle \beta=30^\circ\), a fenti ,,kényszerfeltétel'' szerint

\(\displaystyle a_2=\sqrt3\,a_1.\)

Az indulást követő nagyon rövid \(\displaystyle t\) idő alatt az \(\displaystyle m\) tömegű felső henger lesüllyed \(\displaystyle a_1t^2/2\)-vel, és a sebessége \(\displaystyle a_1t\) lesz. A vízszintesen (szimmetrikusan) szétcsúszó alsó hengerek sebessége \(\displaystyle a_2t\) lesz. Az energiamegmaradás tétele szerint

\(\displaystyle mg\dfrac{a_1}{2}t^2= \dfrac{1}{2}m(a_1t)^2+2\cdot \dfrac{1}{2}m(a_2t)^2,\)

vagyis (a kényszerfeltételt is kihasználva)

\(\displaystyle a_1g=a_1^1+2a_2^2=7a_1^2.\)

Így a kérdéses gyorsulások:

\(\displaystyle a_1=\frac17\,g\approx 1{,}4~\frac{\rm m}{\rm s^2}, \qquad \text{illetve} \qquad a_2=\dfrac{\sqrt3}{7}\,g\approx 2{,}4~\frac{\rm m}{\rm s^2}.\)

Az eredmény sem a jéghengerek méretétől, sem a tömegüktől nem függ.

Statistics:

48 students sent a solution.
5 points:	Bencz Benedek, Bodré Zalán, Chrobák Gergő, Csilling Dániel, Halász Henrik, Kovács Kristóf , Nagy 456 Imre, Nemeskéri Dániel, Vágó Botond, Vincze Farkas Csongor, Waldhauser Miklós.
4 points:	Halász Sámuel, Klement Tamás.
3 points:	2 students.
2 points:	9 students.
1 point:	8 students.
0 point:	3 students.
Unfair, not evaluated:	9 solutionss.

Problems in Physics of KöMaL, December 2022