Problem P. 5449. (December 2022)

P. 5449. A 20 cm long copper rod with a cross section of 3 cm\(\displaystyle {}^2\) is surrounded by a good insulating sheath. The rod is held vertically and suspended at one end such that the other is in a glass containing melting ice; thus it is kept at a constant temperature of 0 \(\displaystyle {}^\circ\)C. To what temperature does the other end of the rod warms up when heated with a small 100 W filament coil? (The required constants can be found in tables or on the internet.)

(3 pont)

Deadline expired on January 16, 2023.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A Fourier-féle hővezetési törvény szerint (lásd pl. a ,,Négyjegyűben'' a 2.6.1. Hővezetés alpontot) egy \(\displaystyle A\) keresztmetszetű, \(\displaystyle \ell\) hosszúságú rúdon időegységenként átáramló hő:

\(\displaystyle \dfrac{Q}{t}=-\lambda A\dfrac{\Delta T}{\ell},\)

ahol \(\displaystyle \lambda\) az anyag hővezetési tényezője. Rézre pl. \(\displaystyle \lambda=395~{\rm W/(mK)}\). (A negatív előjel arra utal, hogy a hő áramlása a csökkenő hőmérséklet irányában történik.)

A rúdon időegységenként átáramló hő – stacionárius állapotban – a fűtőszál \(\displaystyle P\) teljesítményével egyezik meg. Eszerint a feladatban szereplő rézrúdra

\(\displaystyle |\Delta T|=\dfrac{P \ell}{\lambda A}=\dfrac{100~{\rm W}\cdot 0{,}2~\rm m}{395~\dfrac{\rm W}{\rm m\,K}\cdot\left(3\cdot 10^{-4}~\rm m^2\right)}\approx 168~\rm K.\)

A rúd felső vége tehát kb. \(\displaystyle 170~^\circ\)C-ra melegszik fel.

Statistics:

44 students sent a solution.
3 points:	Boér Panna Rita, Brezina Gergely, Christ Miranda Anna, Csonka Illés, Éger Viktória, Fajszi Karsa, Fehérvári Donát, Fórizs Borbála, Gázmár Kolos, Juhász Júlia, Kis Márton Tamás, Klement Tamás, Kovács Barnabás, Masa Barnabás, Molnár Kristóf, Nemeskéri Dániel, Richlik Márton, Saller Bálint , Schmercz Blanka, Szabó Imre Bence, Szabó Márton, Tomesz László Gergő, Tóth Kolos Barnabás, Vágány Zoltán , Waldhauser Miklós, Wodala Gréta Klára.
2 points:	Bogdán Benedek, Bunford Luca, Csiszár András, Farkas Dorka Hanna, Flóring Balázs, Katona Attila Zoltán, Tárnok Ede , Vágó Botond.
1 point:	2 students.
0 point:	5 students.
Unfair, not evaluated:	1 solutions.

Problems in Physics of KöMaL, December 2022