Problem P. 5450. (December 2022)

P. 5450. On the principal axis of a converging lens of focal length \(\displaystyle f=5\) cm, there are (point-like) fireflies, which begin to move towards each other at a speed of 2 cm/s. Initially one is 30 cm to the right and the other is 18 cm to the left of the lens. How much time elapses until their images overlap?

(4 pont)

Deadline expired on January 16, 2023.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A bal és jobb oldali bogár időfüggő tárgytávolsága \(\displaystyle t_{\rm B}=t_{{\rm B}0}-vt\) és \(\displaystyle t_{\rm J}=t_{{\rm J}0}-vt\) alakban adható meg, ahol \(\displaystyle t_{{\rm B}0}\) és \(\displaystyle t_{{\rm J}0}\) a bal és jobb oldali szentjánosbogár \(\displaystyle t=0\) időpontban a lencsétől mért távolsága, továbbá \(\displaystyle v\) jelöli a bogarak haladási sebességét. A bal és jobb oldali tárgyra is felírhatjuk a leképezési törvényt:

\(\displaystyle \frac{1}{t_{\rm B}} + \frac{1}{k_{\rm B}} =\frac{1}{f},\)

\(\displaystyle \frac{1}{t_{\rm J}} + \frac{1}{k_{\rm J}} = \frac{1}{f}.\)

A két kép fedésbe kerül egymással, ha \(\displaystyle k_{\rm B} =- k_{\rm J}\). Ilyenkor a két egyenletet összeadva

\(\displaystyle \frac{1}{t_{\rm B}} + \frac{1}{t_{\rm J}} = \frac{2}{f} \)

adódik, amely \(\displaystyle t\)-ben másodfokú egyenletté alakítható:

\(\displaystyle 2v^2 t^2 - 2v (t_{{\rm B}0}+t_{{\rm J}0}-f) t - f(t_{{\rm B}0}+t_{{\rm J}0}) + 2 t_{{\rm B}0}t_{{\rm J}0} = 0. \)

Az egyenlet egyetlen fizikailag releváns megoldása \(\displaystyle t_1=7{,}5\) s. (Az egyenlet másik gyöke \(\displaystyle t_2=14\) s, ami azért nem fogadható el, mert a bal oldali bogár már 9 s alatt nekiütközik a lencsének.)

Statistics:

41 students sent a solution.
4 points:	Beke Bálint, Beke Botond, Benes András, Bogdán Benedek, Brezina Gergely, Bunford Luca, Chrobák Gergő, Éger Viktória, Fehérvári Donát, Fórizs Borbála, Halász Sámuel, Hegedűs Máté Miklós, Hetényi Klára Tímea, Klement Tamás, Kovács Barnabás, Kovács Kristóf , Molnár Kristóf, Nemeskéri Dániel, Schmercz Blanka, Szabó Márton, Szanyi Attila, Tatár Ágoston, Tomesz László Gergő, Waldhauser Miklós, Zhai Yu Fan.
3 points:	Szegedi Ágoston, Vágó Botond.
2 points:	6 students.
1 point:	5 students.
Unfair, not evaluated:	2 solutionss.

Problems in Physics of KöMaL, December 2022