Problem P. 5451. (December 2022)
P. 5451. The AC power supply for a garage is provided by a three-phase supply. A five-strand cable is used, with all five strands made of the same material and cross-section. One of the wires (green-yellow) is the protective conductor (ground), on which no current flows in the event of fault-free operation. The neutral conductor (blue) always has a potential of zero, and is practically always at ground potential. In the three phase conductors (brown, black, and grey) the potential is a sinusoidal function of time and varies such that the root-mean-square (rms) value is 230 V. The phase difference between the potentials of any two phase conductors is \(\displaystyle 120^\circ\). Resistors are connected between each phase conductor and the neutral conductor.
\(\displaystyle a)\) What is the rms value of the voltage between two different phase cables?
\(\displaystyle b)\) What is the rms value of the current in the neutral wire if the current in two phase conductors is 10 A, in each, but there is no current in the third phase conductor?
\(\displaystyle c)\) What is the rms current in the neutral wire if the current in each phase wire is 10 A?
\(\displaystyle d\)) What is the minimum and the maximum rms current in the neutral conductor if none of the rms currents in the phase conductors exceed 10 A?
(4 pont)
Deadline expired on January 16, 2023.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. \(\displaystyle a)\) Jól ismert és könnyen bizonyítható (többféleképpen is), hogy két fázisvezető között a feszültség \(\displaystyle 230\,\textrm{V}\cdot \sqrt{3}=400\,\textrm{V}\).
\(\displaystyle b)\) Ugyancsak többféleképpen is beláthatjuk, hogy a nullvezető (effektív) árama 10 A.
\(\displaystyle c)\) Érdekes észrevenni, hogy ilyenkor a nullvezető árama 0.
\(\displaystyle d)\) A legkisebb áramérték a nulla, ami akkor következik be, ha mind a három fázis azonos módon van terhelve, az áramkör kiegyenlített.
Megmutatjuk, hogy a legnagyobb áramerősség csúcsértéke a nullvezetőben \(\displaystyle \sqrt2\cdot 10~{\rm A}\approx 14~\)A, vagyis a legnagyobb effektív áramerősség 10 A. Ezt például a forgóvektoros ábrázolással láthatjuk be. Vegyünk fel három egységvektort (legyenek ezek \(\displaystyle \boldsymbol e\), \(\displaystyle \boldsymbol f\) és \(\displaystyle \boldsymbol g\)), amelyek egymással \(\displaystyle 120^\circ\)-os szöget zárnak be (lásd a nem méretarányos ábra bal oldalát). Az egyes fázisvezetőkben folyó (amper egységekben mért) áram az
\(\displaystyle \alpha\cdot {\boldsymbol e}, \qquad (0\le \alpha\le 14),\)
\(\displaystyle \beta\cdot {\boldsymbol f}, \qquad (0\le \beta\le 14),\)
\(\displaystyle \gamma\cdot {\boldsymbol g}, \qquad (0\le \gamma\le 14)\)
vektorokkal adható meg. A nullvezető áramának forgóvektora a fenti három vektor összege és ennek az áramnak a csúcsértéke az \(\displaystyle OC\) távolsággal egyezik meg (lásd az ábra jobb oldalát).
Rajzoljunk egy \(\displaystyle O\) középpontú, \(\displaystyle OK=\sqrt2\cdot 10\approx 14\) egység sugarú kört. Ennek \(\displaystyle O\) középpontjából indítjuk a vektorsokszöges összeadást, vagyis a középpontból mérjük fel az egyik fázisvezetőn folyó áram forgóvektorát. Ennek \(\displaystyle A\) végpontjából mérjük fel a második fázisvezető áramvektorát, és így a kékkel jelölt, rombusz alakú tartomány valamelyik \(\displaystyle B\) pontjába juthatunk el. Végül a \(\displaystyle B\) pontból indítva felmérjük a \(\displaystyle \gamma\cdot {\boldsymbol g}\) vektort, végül tehát a kék és a piros tartomány egyesítettjének (egy \(\displaystyle 10\) egység oldalú szabályos hatszögnek) a belsejébe, vagy annak határára kerülünk.
Láthatjuk, hogy \(\displaystyle OC\le \sqrt2\cdot 10\approx 14\), vagyis sehogy nem tudunk kilépni a kb. 14 A-es körből. A maximális, 14 amperes értéket hat esetben kaphatjuk meg, az ezekhez tartozó \(\displaystyle (\alpha,\beta,\gamma)\) számhármasokat az ábrán a hatszög csúcsainál tüntettük fel. Láthatjuk, hogy a nullvezető áramának csúcsértéke akkor lesz 14 A (a \(\displaystyle C\) pont akkor esik a körvonalra), ha vagy csak egy fázisvezetőben folyik áram, és annak csúcsértéke 14 A (tehát az effektív értéke 10 A), vagy ha csak két fázisvezetőben folyik \(\displaystyle 14-14\) A csúcsértékű (10 A effektív értékű) áram, és a harmadik fázisvezetőben nem folyik áram.
Megjegyzés. Megfontolásaink során kihasználtuk, hogy mindhárom fázisvezető terhelése tisztán ohmos, emiatt az áramok a feszültségekkel azonos fázisúak. Ha a terhelés induktív és/vagy kapacitív elemeket is tartalmazna, a nullvezető effektív áramerőssége meghaladhatná a 10 ampert.
Statistics:
7 students sent a solution. 4 points: Klement Tamás, Nemeskéri Dániel, Tomesz László Gergő. 2 points: 1 student. 1 point: 1 student. 0 point: 1 student.
Problems in Physics of KöMaL, December 2022