Problem P. 5464. (February 2023)

P. 5464. Inclined planes of different angles of inclination are laid through the focus \(\displaystyle F\) of a parabola with vertical symmetry axis and opening downtranslwards. What is the angle of inclination of that inclined plane along which a point-like body, starting from the point \(\displaystyle F\) without initial velocity and sliding frictionlessly down, reaches the parabola in the shortest possible time?

(5 pont)

Deadline expired on March 16, 2023.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Legyen a parabola fókusztávolsága \(\displaystyle f\), és jelöljük a parabola \(\displaystyle P\) pontjának \(\displaystyle F\)-től mért távolságát \(\displaystyle s\)-sel. A parabola definíciója szerint a \(\displaystyle P\) pont az \(\displaystyle e\) vezéregyenestől is \(\displaystyle s\) távolságra van.

Az ábra szerint a \(\displaystyle P\) pontba érkező test lejtőjének hajlásszögére igaz, hogy

\(\displaystyle \sin\alpha=\dfrac{s-2f}{s}=1- 2\dfrac{f}{s},\)

és ennek megfelelően a test gyorsulása

\(\displaystyle a=g\sin\alpha=\left(1- 2\dfrac{f}{s}\right)g.\)

Ha a csúszás ideje \(\displaystyle t\), akkor az egyenletesen gyorsuló mozgás út-idő képlete szerint

\(\displaystyle t=\sqrt{\dfrac{2s}{a}},\)

vagyis

\(\displaystyle \dfrac{1}{t^2}=\dfrac{g}{2}\left(\dfrac{1}{s}-\dfrac{2f}{s^2}\right),\)

amit teljes négyzetté alakíthatunk:

\(\displaystyle \dfrac{1}{t^2}=\dfrac{g}{16\,f}-gf\left(\dfrac{1}{s}-\dfrac{1}{4f} \right)^2 \le \dfrac{g} {16\,f}=\dfrac{1}{t_\text{min}^2}.\)

Látszik, hogy a legrövidebb lecsúszási idő:

\(\displaystyle t_\text{min}=4\sqrt{\dfrac{f}{g}},\)

ami akkor valósul meg, amikor

\(\displaystyle s=4f, \qquad \sin\alpha=\dfrac{1}{2}, \qquad \alpha=30^\circ.\)

Statistics:

41 students sent a solution.
5 points:	Beke Botond, Bencz Benedek, Bodré Zalán, Boér Panna Rita, Csilling Dániel, Csiszár András, Dercsényi Bence, Éger Viktória, Fajszi Karsa, Fehérvári Donát, Flóring Balázs, Fórizs Borbála, Halász Henrik, Hegedűs Máté Miklós, Kis Márton Tamás, Klement Tamás, Kovács Kristóf , Merics Vilmos, Molnár Kristóf, Molnár Zétény, Nagy 456 Imre, Nemeskéri Dániel, Papp Marcell Imre, Richlik Márton, Schmercz Blanka, Seprődi Barnabás Bendegúz, Szabó Márton, Szabó Zsombor, Tárnok Ede , Tóth Kolos Barnabás, Waldhauser Miklós.
3 points:	2 students.
2 points:	2 students.
1 point:	1 student.
Unfair, not evaluated:	1 solutions.

Problems in Physics of KöMaL, February 2023