Problem P. 5467. (February 2023)
P. 5467. A heating filament is wound uniformly along a 20 cm long copper rod of cross section \(\displaystyle 3~\mathrm{cm}^2\). The rod has a suitable electrical insulation along its entire length. The rod is held vertically such that its lower end is just immersed into water in a glass containing melting ice as well, so it remains at a constant temperature of 0 \(\displaystyle {}^\circ\)C. How many degrees Celsius will the other end of the rod heat over a sufficiently long period of time if the heating filament heats the copper rod with a power of 100 W?
(5 pont)
Deadline expired on March 16, 2023.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
I. megoldás. A Newton-féle hővezetési törvény szerint (lásd pl. a Négyjegyű függvénytáblázatokban a Hőátadás alpontot) a rúd kicsiny, \(\displaystyle \Delta x\) hosszúságú, \(\displaystyle A\) keresztmetszetű darabján időegységenként
\(\displaystyle \Phi=\frac{Q}{t}=-\lambda A\frac{\Delta T}{\Delta x}\)
hő áramlik át, ahol \(\displaystyle \Delta T\) a hőmérsékletkülönbség, \(\displaystyle \lambda\) pedig az anyag hővezetési tényezője. Rézre \(\displaystyle \lambda=395\ \dfrac{\rm W}{\rm m\,K}\).
Esetünkben a \(\displaystyle \Phi\) hőáram nem mindenhol ugyanakkora, hanem a rúd mentén változik. (Feltételezzük, hogy a rézrúdból a hő csak a víz felé távozhat.) Ha a rúd hossza \(\displaystyle \ell\) és a fűtőszál teljesítménye \(\displaystyle P\), akkor a rúd felső végétől \(\displaystyle x\) távolságban
\(\displaystyle \Phi(x)=\dfrac{x}{\ell}P,\)
hiszen az \(\displaystyle x\) hosszúságú szakaszon leadott teljesítmény a fűtőszál hosszával arányos.
Látható, hogy a hőáram az \(\displaystyle x\) távolság lineáris függvénye, tehát az átlagos értéke
\(\displaystyle \Phi_\text{átlag}=\dfrac{\Phi_\text{min}+\Phi_\text{max}}{2}=\dfrac{\Phi(0)+\Phi(\ell)}{2}= \dfrac{P}{2}.\)
Ha a rúd felső végének (Celsius-fokban mért) hőmérséklete \(\displaystyle T\), akkor felírhatjuk:
\(\displaystyle \Phi_\text{átlag}= -\lambda A\frac{\Delta T}{ \ell}=-\lambda A\frac{0-T}{ \ell}= \frac{ \lambda A T}{ \ell},\)
vagyis
\(\displaystyle T=\frac{P \ell}{2\lambda A}\approx 84\ ^\circ\rm C.\)
II. megoldás. A hővezetés egyenlete szerint (az I. megoldás jelöléseivel)
\(\displaystyle \Phi(x) =-\lambda A\frac{\Delta T(x)}{\Delta x},\)
az energiaáramlás mérlegegyenlete pedig
\(\displaystyle \dfrac{\Delta\Phi}{\Delta x}=\dfrac{P}{\ell}.\)
Tudjuk, hogy \(\displaystyle \Phi(0)=0\) (hiszen a rúd legtetején még nincs elvezetendő hő), továbbá (az olvadó jég miatt) \(\displaystyle T(\ell)=0\).
A fenti két egyenlet (ami a megváltozásokra vonatkozik, tehát tulajdonképpen differenciálegyenlet) sokkal ismerősebb lesz, ha az alábbi jelöléseket alkalmazzuk:
\(\displaystyle x\qquad\Longleftrightarrow\qquad t,\)
\(\displaystyle T(x)\qquad\Longleftrightarrow\qquad s(t),\)
\(\displaystyle -\dfrac{\Phi(x)}{\lambda A}\quad\Longleftrightarrow\quad v(t),\)
\(\displaystyle \frac{P}{\ell\lambda A}\qquad\Longleftrightarrow\qquad g.\)
Ezekkel a megoldandó egyenletek:
\(\displaystyle v(t)=\frac{\Delta s}{\Delta t},\qquad\frac{\Delta v}{\Delta t}=-g = \text{állandó,}\)
továbbá \(\displaystyle v(0)=0\) és \(\displaystyle s(t=\ell)\)=0. Keressük \(\displaystyle s(0)\) értékét.
Ráismerhetünk, hogy ezek a szabadesés egyenletei, a megoldásuk pedig
\(\displaystyle s(t)=s(0)-\frac{g}2t^2.\)
Kérdés: Milyen magasról ejtsünk le kezdősebesség nélkül egy testet, hogy \(\displaystyle t=\ell\) ,,idő'' alatt érjen le a földre? A válasz ismert: \(\displaystyle s(0)=\dfrac{g}{2}\ell^2\), vagyis a hővezetési probléma megoldása:
\(\displaystyle T(x=0)=\frac{P \ell}{2\lambda A}\approx 84\ ^\circ\rm C.\)
Statistics:
23 students sent a solution. 5 points: Bencz Benedek, Bogdán Benedek, Bunford Luca, Dercsényi Bence, Flóring Balázs, Fórizs Borbála, Halász Henrik, Molnár Kristóf. 4 points: Kis Márton Tamás, Klement Tamás, Tárnok Ede , Tóth Kolos Barnabás. 3 points: 1 student. 2 points: 2 students. 1 point: 6 students.
Problems in Physics of KöMaL, February 2023