Problem P. 5468. (February 2023)
P. 5468. Travelling waves carry not only energy but also momentum.
\(\displaystyle a)\) Analysing the units (using dimensional analysis), find the relationship between the energy and the momentum transferred in a wave.
A \(\displaystyle 100~\mathrm{m^2}\) vertical wall surface receives a sound wave of 100 dB, which is reflected back perpendicularly as an echo of pressure level 60 dB.
\(\displaystyle b)\) Estimate the force exerted on the wall by the reflected sound wave!
Hint: the pressure level of sound of intensity \(\displaystyle I\) can be given in decibel units according to the following formula:
\(\displaystyle \beta=10~\mathrm{dB} \lg \frac{I}{I_0}, \)
where \(\displaystyle I_0 = 10^{-12}~\mathrm{W/m}^2\), which is called the threshold of hearing. Intensity is the amount of energy that passes through a unit surface, perpendicularly, in a second.
(5 pont)
Deadline expired on March 16, 2023.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. \(\displaystyle a)\) Próbálkozzunk az energia/lendület kifejezés dimenziójának vizsgálatával:
\(\displaystyle \frac{\rm [energia]}{\rm [lendület]} =\frac {\rm J}{\rm kg\,m/s}=\frac{\rm \frac {kgm}{s^2}\ m}{\rm \frac {kgm}{s}} =\frac {\rm m}{\rm s}.\)
Lényegében arra jutottunk, hogy a hullámban terjedő energia és lendület (impulzus) hányadosa sebesség mértékegységű. Ez a sebesség nem lehet más, mint a hullám terjedési sebessége. Vagyis a következő összefüggést fedezhetjük fel (talán korrektebb azt mondani, hogy sejthetjük meg):
\(\displaystyle \rm {(a\ hullám\ energiája)\propto (terjedési\ sebesség)(a\ hullám\ lendülete)}.\)
A \(\displaystyle \propto\) jel arra utal, hogy a két kifejezés között egy arányossági tényező is szerepelhet, de mivel csak nagyságrendi becslést akarunk adni a hangnyomás nagyságára, az arányossági tényezőt az egyszerűség kedvéért 1-nek tekintjük.
\(\displaystyle b)\) A 100 dB-es hanghullám esetében a fal minden négyzetméterét másodpercenként 0,01 J energia éri el, tehát a teljes falfelületetre jutó hangteljesítmény 1 \(\displaystyle \rm J/s = 1\ W \). A visszhang ehhez képest 4 nagyságrenddel kisebb intenzitású, tehát a visszhanggal nem kell törődnünk. Legyen mondjuk a levegő hőmérséklete olyan, hogy a hang terjedési sebessége 333 m/s értékű. Ezzel a terjedési sebességgel kell elosztanunk a falhoz másodpercenként érkező energiát, hogy megkapjuk a teljes falfelületre a másodpercenkénti lendületváltozást, vagyis a falra ható erőt:
\(\displaystyle F=\frac {1\ \rm J/s}{333\ \rm m/s}=3\cdot 10^{-3}\ \rm N.\)
Ez a meglepően kicsiny erő lényegében a hang elnyelődéséből származik.
Statistics:
17 students sent a solution. 5 points: Bencz Benedek, Halász Henrik, Klement Tamás, Nemeskéri Dániel, Waldhauser Miklós. 4 points: Csiszár András, Farkas Dorka Hanna, Katona Attila Zoltán, Lévai Dominik Márk, Masa Barnabás, Merics Vilmos, Vágó Botond. 3 points: 1 student. 2 points: 1 student. 1 point: 1 student. Unfair, not evaluated: 1 solutions.
Problems in Physics of KöMaL, February 2023