Problem P. 5470. (February 2023)
P. 5470. Two identical converging lenses are placed opposite each other so that their focal points coincide. One lens is illuminated by a beam of monochromatic light of uniform energy flux density. The beam is parallel to the common principal axis of the lenses. The lenses are coated with an anti-reflection layer, so that the effects of light absorption and reflection inside the lenses are negligible.
\(\displaystyle a)\) Determine the direction of the forces exerted on the lenses.
\(\displaystyle b)\) Estimate the magnitude of the forces.
Data: the focal length of each lens is 10 cm, their diameter is 5 cm, the wavelength of the light which is used for illuminating is 590 nm, the power received by the first lens is 1 W.
(5 pont)
Deadline expired on March 16, 2023.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. \(\displaystyle a)\) Az idealizált feltételek miatt az első lencsére eső fotonok száma megegyezik az első lencsét elhagyó fotonok számával, sőt a második lencsére is ugyanennyi foton esik, és végül a második lencsét is ugyanennyi foton hagyja el. A lencsék tehát nem a fotonok számát változtatják meg, hanem a fotonok mozgásirányát (kivéve az optikai tengely mentén mozgó fotonokét). A fotonok \(\displaystyle p=h/\lambda\) impulzust hordoznak, ahol \(\displaystyle h\) a Planck-állandó, \(\displaystyle \lambda\) pedig a foton hullámhossza. Ha összeadjuk a fotonok egységnyi idő alatti impulzusváltozását, akkor megkapjuk a lencsére ható mechanikai erő nagyságát. Az első lencse csökkenti a beeső fotonok összimpulzusát, a második pedig növeli azt. Ennek megfelelően mindkét lencsére a fókuszpont felé mutató erő hat, amint ezt az alábbi ábra mutatja.
A két erő nagysága megegyezik, irányuk ellentétes, és ez emlékeztethet minket Newton harmadik törvényének erő-ellenerő párjára. Azonban nem a két lencse áll kölcsönhatásban egymással, hanem kétszeres fény-lencse kölcsönhatással van dolgunk. Ha például a második lencse átmérője kisebb lenne, akkor rá kisebb erő hatna, és így szóba sem kerülhetne a lencsék párkölcsönhatása.
\(\displaystyle b)\) A lencsék szélén történik a fotonok mozgásirányának legnagyobb megváltozása. A beeső fotonok maximális eltérülési szöge: \(\displaystyle \varphi=\arctg{\frac{d}{2f}}=14^{\circ}\), ahol \(\displaystyle d\) a lencsék átmérője, \(\displaystyle f\) pedig a fókusztávolságuk. Durva becslésként tekintsük úgy, hogy a fotonok átlagos eltérülése \(\displaystyle \frac{\varphi}2 = 7^{\circ}\). Egyetlen fotonnak az optikai tengellyel párhuzamos irányba eső ,,átlagos'' lendületváltozása:
\(\displaystyle \Delta p\approx p\left(1-\cos\frac{\varphi}2\right)=\frac{h}{\lambda}\left(1-\cos\frac{\varphi}2\right).\)
A \(\displaystyle \Delta t\) idő alatt beeső fotonok \(\displaystyle \Delta N\) számát a lencsékre jutó \(\displaystyle P\) fényteljesítményből határozhatjuk meg:
\(\displaystyle \Delta N=\frac{P\Delta t}{hc/\lambda},\)
ahol \(\displaystyle c\) a fénysebesség. Végül a lencsékre ható mechanikai erő nagyságát így számolhatjuk ki:
\(\displaystyle F=\frac{\Delta N\Delta p}{\Delta t}\approx\frac{P}{c}\left(1-\cos\frac{\varphi}2\right)=2{,}5\, \cdot \, 10^{-11}\,\rm{N}.\)
Megjegyzések. 1. Láthatjuk, hogy a lencsékre ható erők nagysága csak a megvilágítás teljesítményétől és a lencsék méretétől, valamint fókusztávolságától függ. A lencsékre eső fény hullámhossza kiesik a számításból, megadott értéke legfeljebb arra utal, hogy igazán jó antireflexiós réteget csak monokromatikus fényre lehet létrehozni.
2. Az \(\displaystyle F\) erő számszerű értékének becslését kicsit pontosabbá tehetjük a következő módon. Osszuk fel az \(\displaystyle R=2{,}5\) cm sugarú lencsére eső fotonokat két részre. Az egyik rész legyen az, amelynél a fotonok egy \(\displaystyle R/2\) sugarú körlapra esnek; az összes foton 1/4 része jut ide. A maradék rész egy \(\displaystyle R/2\) ,,széles'' körgyűrű, amelyre a fotonok 3/4 része esik. A körgyűrűre eső fény legnagyobb eltérülése \(\displaystyle 14^{\circ}\), a legkisebb pedig kb. \(\displaystyle 7^{\circ}\), átlaguk tehát \(\displaystyle 10{,}5^{\circ}\). A kis körlapnál a legnagyobb eltérülés \(\displaystyle 7^{\circ}\), a legkisebb nulla, az átlagukat vehetjük \(\displaystyle 3{,}5^{\circ}\)-nak. Ennek megfelelően a fotonok időegységre eső impulzusváltozása, vagyis az általuk kifejtett erő nagysága
\(\displaystyle F\approx \frac{P}{c}\left(\frac34(1-\cos 10{,}5^\circ)+ \frac14(1-\cos 3{,}5^\circ) \right)\approx 4{,}3 \, \cdot 10^{-11}\,\rm{N}.\)
3. Ha a lencse körlapját nagyon sok körgyűrűre osztjuk, és az ezekre eső fotonok járulékait összegezzük, akkor – határesetben (integrálszámítással) – megkapjuk az ,,egzakt''' eredményt. A lencsékre ható erők nagysága a legpontosabb számolás szerint \(\displaystyle F=5{,}06 \cdot 10^{-11}\,\rm{N},\) ami kicsit több, mint a kétszerese a durva becslésen alapuló számítás eredményének. Eszerint az átlagos szögeltérítés nem \(\displaystyle 7^{\circ}\), hanem majdnem \(\displaystyle 10^{\circ}\).
Statistics:
7 students sent a solution. 4 points: Fajszi Karsa. 3 points: 2 students. 2 points: 1 student. 1 point: 2 students.
Problems in Physics of KöMaL, February 2023