Problem P. 5475. (March 2023)
P. 5475. A container with mass \(\displaystyle M=32\) kg and volume \(\displaystyle V=4~\mathrm{dm}^3\) can move frictionlessly on a horizontal table. It is divided into two parts by a piston of mass \(\displaystyle m=16\) kg. On the left side of the piston there is a mixture of gases of volume \(\displaystyle V_0=1~\mathrm{dm}^3\), at a pressure of \(\displaystyle p_0=0.3\) MPa, and of adiabatic exponent \(\displaystyle \kappa=1.5\). On the right side of the piston there is vacuum. What is the relative velocity at which the piston will hit the wall of the cylinder if the piston is released? Assume that the gas is in thermal equilibrium for all the time.
(5 pont)
Deadline expired on April 17, 2023.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. A dugattyú rögzítésének feloldása után a gáz adiabatikusan tágul, és eközben lehűl. A gáz belső energiájának csökkenése fedezi a dugattyú és a tartály kinetikus energiájának növekedését. A mozgás során a rendszer súlypontja mozdulatlan marad.
A folyamat során a gáz négyszeresére tágul, tehát
\(\displaystyle p_0V_0^{\kappa}=p(4V_0)^{\kappa}, \)
ahonnan
\(\displaystyle p=4^{-\kappa}p_0=\frac{1}{8}p_0. \)
Az univerzális gáztörvény szerint
\(\displaystyle \left(\frac{1}{8}p_0\right)(4V_0)=nRT=\frac{1}{2}nRT_0, \)
ahol \(\displaystyle n\) a gázkeverék részecskéinek a száma mol-ban kifejezve, és \(\displaystyle T_0\) a gáz hőmérséklete a folyamat kezdetekor (\(\displaystyle T_0=p_0V_0/nR\)). Látható, hogy a hőmérsélet-csökkenés \(\displaystyle \Delta T=T_0/2\). A belső energia csökkenésének a kiszámolásához szükségünk van az állandó térfogaton vett fajhőre. A moláris fajhőkre gázkeverékek esetén is igaz, hogy
\(\displaystyle C^{\rm (mol)}_p-C^{\rm (mol)}_V=R, \)
aminek alapján a \(\displaystyle \kappa=\frac{C^{\rm (mol)}_p}{C^{\rm (mol)}_V}\) összefüggés felhasználásával a gázkeverék \(\displaystyle C_V=nC^{\rm (mol)}_V\) teljes hőkapacitására a
\(\displaystyle C_V=\frac{nR}{\kappa-1} \)
értéket kapjuk. Eszerint a teljes belső energiacsökkenés a fentiek felhasználásával
\(\displaystyle \Delta E=C_V\Delta T=\frac{p_0V_0}{2(\kappa-1)}. \)
Jelölje \(\displaystyle v\) a tartály, \(\displaystyle u\) pedig a dugattyú sebességének nagyságát az ütközés pillanatában! (Az irányuk nyilvánvalóan ellentétes.) Az impulzus és energia megmaradás törvénye szerint
\(\displaystyle Mv=mu, \)
és
\(\displaystyle \frac{1}{2}Mv^2+\frac{1}{2}mu^2=\Delta E. \)
Ezekből
\(\displaystyle v=\sqrt{\frac{2m\Delta E}{M(M+m)}},\qquad\textrm{illetve}\qquad u=\sqrt{\frac{2M\Delta E}{m(M+m)}}. \)
A relatív sebesség
\(\displaystyle \Delta v=v+u=\sqrt{\frac{2(M+m)\Delta E}{Mm}}. \)
Adatainkkal \(\displaystyle \Delta E=300\ \textrm{J}\) és \(\displaystyle \Delta v=7{,}5\ \textrm{m/s}\).
Statistics:
43 students sent a solution. 5 points: Beke Bálint, Bencz Benedek, Bogdán Benedek, Bunford Luca, Csiszár András, Csóka Péter, Csonka Illés, Dancsák Dénes, Dercsényi Bence, Fehérvári Donát, Fórizs Borbála, Halász Henrik, Hegedűs Máté Miklós, Katona Attila Zoltán, Klement Tamás, Kovács Kristóf , Masa Barnabás, Molnár Kristóf, Nagy 456 Imre, Papp Marcell Imre, Seprődi Barnabás Bendegúz, Tárnok Ede , Tomesz László Gergő, Vágó Botond, Vincze Farkas Csongor (25 students). 4 points: Brezina Gergely, Chrobák Gergő, Lévai Dominik Márk, Molnár Zétény, Nemeskéri Dániel, Szabó Márton, Szabó Zsombor, Tóth Kolos Barnabás (8 students). 3 points: 1 student. 2 points: 1 student. 1 point: 3 students. irregular: 1 script.
Problems in Physics of KöMaL, March 2023